Teorema di compattezza con argomento diagonale

KatieP
Salve a tutti, sto studiando il teorema secondo cui da ogni successione limitata è possibile estrarre una successione convergente. Il professore ha proposto, per il caso di una successione infinita, di osservare che il sostegno della successione presenta sicuramente un punto di accumulazione c e che è sicuramente possibile estrarre una successione a di punti del sostegno convergente a c. Resta da dimostrare che tale successione a sia una sottosuccessione di quella originaria. Per farlo ha estratto una sottosuccessione di a in un intorno (c -1, c +1) e ha disposto i termini nella prima riga di una matrice. Poi ha estratto una nuova sottosuccessione di a nell'intorno (c -1/2, c+1/2), posizionata nella seconda riga della matrice. Si è generata una matrice ad infinite righe e colonne. Ha poi concluso che l'unico modo per ottenere una sottosuccessione di a che convergesse a c fosse quella lungo la diagonale. Non riesco a capire perché..mi aiutate?

Risposte
Fioravante Patrone1
Un esercizio istruttivo, per capire la differenza che c'è tra una successione e l'insieme dei suoi termini, ancorché nel caso in cui questo sia infinito

"nereide":
Salve a tutti, sto studiando il teorema secondo cui da ogni successione limitata è possibile estrarre una successione convergente. Il professore ha proposto, per il caso di una successione infinita, di osservare che il sostegno della successione presenta sicuramente un punto di accumulazione c e che è sicuramente possibile estrarre una successione a di punti del sostegno convergente a c. Resta da dimostrare che tale successione a sia una sottosuccessione di quella originaria.

No, il tuo prof non ha detto questo. Che è falso.
Lui vuol dimostrare che da $a$ può estrarre una sottosuccessione di quella originaria.


"nereide":

Per farlo ha estratto una sottosuccessione di a in un intorno (c -1, c +1) e ha disposto i termini nella prima riga di una matrice. Poi ha estratto una nuova sottosuccessione di a nell'intorno (c -1/2, c+1/2), posizionata nella seconda riga della matrice. Si è generata una matrice ad infinite righe e colonne. Ha poi concluso che l'unico modo per ottenere una sottosuccessione di a che convergesse a c fosse quella lungo la diagonale. Non riesco a capire perché..mi aiutate?

Non capisco la questione della diagonale (a naso non mi sembra possibile, ma ho lo stomaco che al momento richiede tutte le mie risorse energetiche).
Però di sicuro puoi trovare la sottosuccessione, basta che per ogni riga peschi un elemento a destra dell'ultimo che avevi preso. E questo è certamente possibile.

KatieP
Visto che ogni riga è ottenuta come sottosuccessione della precedente, perché non basta questa come sottosuccessione e bisogna considerare la diagonale?

Fioravante Patrone1
Ma fare un esempio espone a qualche rischio? Non credo, eppure c'è sempre in giro un sacco di gente allergica agli esempi. Mentre è con gli esempi e controesempi che si capisce la teoria e, soprattutto, la si trasforma in qualcosa di utilizzabile.


Prendi la successione $1/n$.

L'insieme dei suoi termini ha ovviamente $0$ come punto di accumulazione.

Prendi la seguente successione:

$1,1,1/2,1/2,1/3,1/3,...$

Oppure queste:

$1/2,1,1/4,1/3,1/6,1/5,...$

$1,1/2,1/2,1/3,1/3,1/3,...$

Buon divertimento

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