Teorema di Cauchy per le successioni

[FainaGimmi]

Devo dimostare il teorema di Cauchy per le successioni, ovvero:

Sia $a_n$ una successione. $a_n$ e convergente $\Leftrightarrow$ è di Cauchy

A me ora interessa la parte $\Leftarrow$, e vorrei sapere se la dimostrazione che faccio io va bene o no.

La mai è la seguente:
Poichè $a_n$ è di Cauchy, allora per $AA\epsilon > 0$ $EEv in NN :$ presi $h,k > v \Rightarrow |{a_h} - {a_k}| < \epsilon$, sicuramente saremo in uno dei due casi sotto riportati:
o $h > k$
o $k > h$.
Valutiamo, per comodità, il caso $k > h$, ma anche l'altro va bene lo stesso. Per semplicità poniamo $k = h + 1$ così da avere $|{a_h} - {a_{h + 1}}| < \epsilon$. Poichè $\epsilon \to 0$, allora ne risulata che la successione $a_n$, per $AAn > v$ è convergente.

E' corretta questa dimostrazione?

[gugo82]

No, semplicemente perchè dire che $|a_n-a_(n+1)|
Ad occhio, dovrai usare il teorema di Bolzano-Weierstrass da qualche parte per riuscire a terminare la dimostrazione...

[FainaGimmi]

si, infatti so fare la dimostrazione con Bolzano-Weierstrass, ma volevo sapere se andava bene anche questa (a quanto pare no)

Ne ero poco sicuro anch'io, mi sembrava troppo banale potessi dimostrarlo in così pochi passaggi!!
Grazie della conferma!!