Teorema di Cauchy locale e globale
Salve a tutti, mi servirebbe una mano con questo esercizio:
data l'equazione differenziale $y'=(sinh(y^2-4)*sqrt(1-x^2))/(4+sinx)$ si chiede se vale il teorema di Cauchy in piccolo in opportuni insiemi di $R^2$ e se vale quello in grande in opportune strisce.
si ha $y'=f(x,y)$ che è continua per $-1<=x<=1$, la derivata rispetto a $y$ è: $sqrt(1 - x^2)/(4 +sin(x))·(e^(y^2 - 4) + e^(- (y^2 - 4)))·y$, che è anch'essa continua (?) nello stesso insieme; quindi il teorema di Cauchy vale in ogni insieme del tipo $-1<=x<=1, a<=y<=b$. Giusto?
per quanto quanto riguarda quello globale direi che la derivata rispetto a $y$ non è limitata in nessuna striscia del tipo $-1<=x<=1, -infty
tutto ciò è giusto? grazie a tutti.
data l'equazione differenziale $y'=(sinh(y^2-4)*sqrt(1-x^2))/(4+sinx)$ si chiede se vale il teorema di Cauchy in piccolo in opportuni insiemi di $R^2$ e se vale quello in grande in opportune strisce.
si ha $y'=f(x,y)$ che è continua per $-1<=x<=1$, la derivata rispetto a $y$ è: $sqrt(1 - x^2)/(4 +sin(x))·(e^(y^2 - 4) + e^(- (y^2 - 4)))·y$, che è anch'essa continua (?) nello stesso insieme; quindi il teorema di Cauchy vale in ogni insieme del tipo $-1<=x<=1, a<=y<=b$. Giusto?
per quanto quanto riguarda quello globale direi che la derivata rispetto a $y$ non è limitata in nessuna striscia del tipo $-1<=x<=1, -infty
tutto ciò è giusto? grazie a tutti.
Risposte
strano che non ti abbiano risposto prima
comunque il ragionamento che hai seguito è corretto, se c'è qualche errore al massimo è nei conti.
Per l'esistenza e unicità in piccolo, io penso che si possa anche dire che vale in $[-1,1]xRR$... nel senso che ad ogni scelta dei dati iniziali in $[-1,1]xRR$ corrisponde un loro intorno su cui esiste una soluzione ed è unica. ma questo è giusto un dettaglio!
comunque il ragionamento che hai seguito è corretto, se c'è qualche errore al massimo è nei conti.
Per l'esistenza e unicità in piccolo, io penso che si possa anche dire che vale in $[-1,1]xRR$... nel senso che ad ogni scelta dei dati iniziali in $[-1,1]xRR$ corrisponde un loro intorno su cui esiste una soluzione ed è unica. ma questo è giusto un dettaglio!
Probabilmente la differenza tra quello che dice Akuma e quello che dice dissonance sta in questo:
- Akuma si riferisce a un rettangolo sul quale può applicare il teorema di esistenza e unicità locale
- dissonance si riferisce alle c.i. per le quali si può trovare un rettangolo al quale applicare il teorema di esistenza ed unicità locale
Probabilmente questo mio post è inutile
- Akuma si riferisce a un rettangolo sul quale può applicare il teorema di esistenza e unicità locale
- dissonance si riferisce alle c.i. per le quali si può trovare un rettangolo al quale applicare il teorema di esistenza ed unicità locale
Probabilmente questo mio post è inutile
grazie a tutti e due 
, un po alla volta spero di riuscire a capire come si applicano questi teoremi, sono sempre stati un mio punto debole....
, un po alla volta spero di riuscire a capire come si applicano questi teoremi, sono sempre stati un mio punto debole....
l'insieme in cui è applicabile in piccolo è da riternersi aperto, o sbaglio? escludendo $+1,-1$...
Spesso il teorema di esistenza ed unicità è enunciato su un insieme aperto. Immagino sia per questo che fai questa domanda.
Ma non vedo difficoltà, in questo caso, a considerare anche le due rette verticali di equazione x=-1 e x=1. Chiaramente, se prendi ad es. una c.i. con $x_0 = -1$ dovrai considerare la derivata destra ed un intorno "destro", per così dire.
Ma non vedo difficoltà, in questo caso, a considerare anche le due rette verticali di equazione x=-1 e x=1. Chiaramente, se prendi ad es. una c.i. con $x_0 = -1$ dovrai considerare la derivata destra ed un intorno "destro", per così dire.
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