Teorema di cauchy locale e globale....
Riguardo alle equazioni differenziali....
qualcuno mi può aiutare?
avendo 1 equazione f(x,y)=y'
non ho capito esattamente.....se trovo che il teorema di cauchy locale è definito su tutto R verificando la continuità in x e derivabilità in y....posso dire che è verificato il teorema globale??
se la risposta è no, perchè?
grazie a tutti
claudia
qualcuno mi può aiutare?
avendo 1 equazione f(x,y)=y'
non ho capito esattamente.....se trovo che il teorema di cauchy locale è definito su tutto R verificando la continuità in x e derivabilità in y....posso dire che è verificato il teorema globale??
se la risposta è no, perchè?
grazie a tutti
claudia
Risposte
Quando si parla di teorema di Cauchy "locale", si vuole sottolineare il fatto che, se f(x,y) è definita su un sottoinsieme aperto $Omega$ di $RR$x$RR$ (incluso strettamente), allora occore un occhio di riguardo alla massima soluzione possibile, cioè alla soluzione massimale.
Nel caso in cui $Omega$ è un sottoinsieme di $RR$x$RR$ del tipo $RR$x$A$, con A sottoinsieme qualunque (non vuoto) di $RR$, cioè quello che hai chiesto, la questione è più semplice (per capirci, x varia in $RR$ e y in A).
Se controlli sul tuo libro o sui tuoi appunti, vedrai che c'è scritto più o meno che, se valgono le ipotesi, il teorema di Cauchy dice che, per ogni (x,y) in $Omega$, esiste un intorno di x [x-$delta$, x+$delta$] su cui è definita una soluzione. Ebbene, nel nostro caso particolare x può variare in tutto $RR$, per cui possiamo sempre definire una soluzione su tutto $RR$. Non solo, la condizione di unicità ci dice proprio che la soluzione in quesitone è addirittura unica su tutto $RR$.
Si sarà capito qualcosa?
Comunque, almeno la risposta secca la ripeto: la soluzione a tali condizioni esiste ed è pure unica proprio grazie al teorema di Cauchy. Un'ultima osservazione: il fatto di chiamare il teorema locale deriva dal fatto che parliamo di sottointervalli di $RR$ su cui far variare x, cioè di intorni; $RR$ stesso però è un intorno, no? Qunidi non c'è alcuna contraddizione nel fatto che valga un teorema spesso definito come globale, no?...
Nel caso in cui $Omega$ è un sottoinsieme di $RR$x$RR$ del tipo $RR$x$A$, con A sottoinsieme qualunque (non vuoto) di $RR$, cioè quello che hai chiesto, la questione è più semplice (per capirci, x varia in $RR$ e y in A).
Se controlli sul tuo libro o sui tuoi appunti, vedrai che c'è scritto più o meno che, se valgono le ipotesi, il teorema di Cauchy dice che, per ogni (x,y) in $Omega$, esiste un intorno di x [x-$delta$, x+$delta$] su cui è definita una soluzione. Ebbene, nel nostro caso particolare x può variare in tutto $RR$, per cui possiamo sempre definire una soluzione su tutto $RR$. Non solo, la condizione di unicità ci dice proprio che la soluzione in quesitone è addirittura unica su tutto $RR$.
Si sarà capito qualcosa?
Comunque, almeno la risposta secca la ripeto: la soluzione a tali condizioni esiste ed è pure unica proprio grazie al teorema di Cauchy. Un'ultima osservazione: il fatto di chiamare il teorema locale deriva dal fatto che parliamo di sottointervalli di $RR$ su cui far variare x, cioè di intorni; $RR$ stesso però è un intorno, no? Qunidi non c'è alcuna contraddizione nel fatto che valga un teorema spesso definito come globale, no?...
Ciao a tutti,
ammetto di nn aver riletto ultimamente il teorema di cauchy e i vari corollari, cmq provo ad abbozzare una risposta.
Qnd si parla di esistenza locale, le richieste sulla funzione f(x,y) sono di locale lip... e per l'esistenza globale di sublinearità, cioè |f(x,y)|<=1+|y|.
Gli insiemi di esistenza della soluzione sono quindi vincolati dalle proprietà della funzione f.
Esempio se la funzione f è localmente lip sui tutti i compatti di R, non è detto che esista una soluzione globale:y'=e^y.
Quindi trovo una soluzione locale per ogni compatto, la posso prolungare ma non esiste una soluzione su tutto R, troverò un insieme massimale che non è detto che coincida con tutto l'insieme di partenza.
Qst risposta, sicuramente sarà tutt'altro che esauriente, ma un tale problema richiede più di un post come risposta.
Saluti,
Andrea
ammetto di nn aver riletto ultimamente il teorema di cauchy e i vari corollari, cmq provo ad abbozzare una risposta.
Qnd si parla di esistenza locale, le richieste sulla funzione f(x,y) sono di locale lip... e per l'esistenza globale di sublinearità, cioè |f(x,y)|<=1+|y|.
Gli insiemi di esistenza della soluzione sono quindi vincolati dalle proprietà della funzione f.
Esempio se la funzione f è localmente lip sui tutti i compatti di R, non è detto che esista una soluzione globale:y'=e^y.
Quindi trovo una soluzione locale per ogni compatto, la posso prolungare ma non esiste una soluzione su tutto R, troverò un insieme massimale che non è detto che coincida con tutto l'insieme di partenza.
Qst risposta, sicuramente sarà tutt'altro che esauriente, ma un tale problema richiede più di un post come risposta.
Saluti,
Andrea
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