Teorema di Cauchy-Kowalewski per ODE
Ciao , sto leggendo il libro "Nonlinear dispersive equations: local and global analysis, Terence Tao" (che potete trovare al seguente link: http://terrytao.wordpress.com/books/non ... -analysis/ ) e sto avendo non poche difficoltà con questo teorema che l'autore propone come esercizio, ma io non riesco a risolvere. Il teorema si trova alla fine di pagina 4 del libro mentre alcune dritte per la soluzione si trovano a pagina 10. Comunque vi scrivo anche qui il teorema e gli aiuti sperando possiate darmi una mano dato che su internet non sto trovando nessun riferimento a questo teorema.
Teorema (Cauchy Kowalevski)
Sia $k \geq 1$. Sia $\mathcal{D}$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita dotato di norma. Sia $F:\mathcal{D}^k\rightarrow\mathcal{D}$ una funzione analitica, sia $t_0 \in \mathbb{R}$ e siano $u_0,\ldots,u_{k-1} \in \mathcal{D}$ arbitrari. Allora esiste un intervallo aperto $I$ contenente $t_0$ ed un unica soluzione analitica $u:I\rightarrow\mathcal{D}$ alla eq diff ordinaria:
$\partial^k_t u(t)=F(u(t), \partial_t u(t),\ldots, \partial^{k-1}_t u(t))$
con condizioni iniziali: $u(t_0)=u_0,\ldots, \partial^{k-1}_t u(t_0)=u_{k-1}$
l'autore propone di dimostrare il teorema per $k=1$ e $t_0=0$ e $u_0=0$
dimostrando prima che: $||\partial^m_t u(0) ||_{\mathcal{D}}\leq K^{m+1}m!$ per ogni $m\geq0$ con $K>0$ che dipende dalla $F$
poi ponendo $u(t):=\sum_{m=0}^\infty \frac{\partial^m_t u(0)}{m!}t^m$ e facendo vedere che con la u appena definita risulta che $\partial_t u(t)-F(u(t))$ è analitica su $I$ ed è zero su tutto $I$.
Spero possiate aiutarmi dato che io non so veramente dove mettere le mani, iniziando dal fatto che non riesco neanche a capire perchè dimostrare la prima disuguaglianza e da dove poterla tirare fuori.
Teorema (Cauchy Kowalevski)
Sia $k \geq 1$. Sia $\mathcal{D}$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita dotato di norma. Sia $F:\mathcal{D}^k\rightarrow\mathcal{D}$ una funzione analitica, sia $t_0 \in \mathbb{R}$ e siano $u_0,\ldots,u_{k-1} \in \mathcal{D}$ arbitrari. Allora esiste un intervallo aperto $I$ contenente $t_0$ ed un unica soluzione analitica $u:I\rightarrow\mathcal{D}$ alla eq diff ordinaria:
$\partial^k_t u(t)=F(u(t), \partial_t u(t),\ldots, \partial^{k-1}_t u(t))$
con condizioni iniziali: $u(t_0)=u_0,\ldots, \partial^{k-1}_t u(t_0)=u_{k-1}$
l'autore propone di dimostrare il teorema per $k=1$ e $t_0=0$ e $u_0=0$
dimostrando prima che: $||\partial^m_t u(0) ||_{\mathcal{D}}\leq K^{m+1}m!$ per ogni $m\geq0$ con $K>0$ che dipende dalla $F$
poi ponendo $u(t):=\sum_{m=0}^\infty \frac{\partial^m_t u(0)}{m!}t^m$ e facendo vedere che con la u appena definita risulta che $\partial_t u(t)-F(u(t))$ è analitica su $I$ ed è zero su tutto $I$.
Spero possiate aiutarmi dato che io non so veramente dove mettere le mani, iniziando dal fatto che non riesco neanche a capire perchè dimostrare la prima disuguaglianza e da dove poterla tirare fuori.
Risposte
allora diciamo che forse sulla prima parte (la disuguaglianza) ci sono però vorrei chiedervi cosa ne pensate voi:
allora noi abbiamo: $\partial_t u(t)= F(u(t))$ con condizione iniziale $u(0)=0$
in più sappiamo che $F(u(t))=\sum^{oo}_{n=0}a_n u(t)^n$ con $a_n=\frac{\partial^n_{u(t)} F(0)}{n!}$ perchè F è analitica.
dubbio 1: a quanto penso di aver capito noi vogliamo dimostrare quella disuguaglianza cosi poi sarà ben posta la definizione della candidata soluzione u(t) dato che i coefficienti sono finiti, giusto?
con m=1 osserviamo $\partial_t u(0)=F(u(0))=a_0$ e quindi posto K=sup{$||a_i||$} (dubbio 2: è possibile fare questo?) risulta: $||\partial_t u(0)||\leq K$ e quindi per m=1 la disuguaglianza c è considerando di moltiplicare a destra per un altro K.
vediamo con m=2
$\partial^2_t u(t)=\partial_tF(u(t))=\partial_{u(t)}F(u(t)) \cdot \partial_t u(t) = \partial_t u(t) \cdot \sum^{oo}_{n=1}n a_n u(t)^{n-1}$
e quindi in 0: $\partial_t u(0)=a_0a_1$ e quindi la norma è minore uguale a $K^2\cdot 1!$ a sua volta minore uguale di $K^3\cdot2!$, che è una quantita maggiore (K è positivo perchè è il sup delle norme e quindi la disuguaglianza è ancora verificata)(dubbio 3: chi mi dice che K non sia compreso fra 0 e 1 e quindi non penso sia valida la seconda maggiorazione?)
dopodichè ho provato anche con m=3 e a patto di forzare di nuovo come sopra la disuguaglianza che si vuole dimostrare è verificata.
Però non riesco ancora a generalizzare per un m generico, dato che penso mi serva una legge sulla derivazione m-esima di F(u(t)) prima di studiare la disuguaglianza che voglio provare. In più il metodo che ho utilizzato per rispettare la disuguaglianza proposta nel libro mi sembra veramente forzato a meno che non ci sia un errore nel libro... ma non penso.
Comunque spero possiate aiutarmi nel proseguimento e nei dubbi proposti. grazie e scusate il repost, ma magari può servire anche a voi come inizio per la dimostrazione..
edit: ho editato qualche cosa che avevo sbagliato a scrivere qua e là
edit2: ho aggiunto un altro dubbio -.-'
allora noi abbiamo: $\partial_t u(t)= F(u(t))$ con condizione iniziale $u(0)=0$
in più sappiamo che $F(u(t))=\sum^{oo}_{n=0}a_n u(t)^n$ con $a_n=\frac{\partial^n_{u(t)} F(0)}{n!}$ perchè F è analitica.
dubbio 1: a quanto penso di aver capito noi vogliamo dimostrare quella disuguaglianza cosi poi sarà ben posta la definizione della candidata soluzione u(t) dato che i coefficienti sono finiti, giusto?
con m=1 osserviamo $\partial_t u(0)=F(u(0))=a_0$ e quindi posto K=sup{$||a_i||$} (dubbio 2: è possibile fare questo?) risulta: $||\partial_t u(0)||\leq K$ e quindi per m=1 la disuguaglianza c è considerando di moltiplicare a destra per un altro K.
vediamo con m=2
$\partial^2_t u(t)=\partial_tF(u(t))=\partial_{u(t)}F(u(t)) \cdot \partial_t u(t) = \partial_t u(t) \cdot \sum^{oo}_{n=1}n a_n u(t)^{n-1}$
e quindi in 0: $\partial_t u(0)=a_0a_1$ e quindi la norma è minore uguale a $K^2\cdot 1!$ a sua volta minore uguale di $K^3\cdot2!$, che è una quantita maggiore (K è positivo perchè è il sup delle norme e quindi la disuguaglianza è ancora verificata)(dubbio 3: chi mi dice che K non sia compreso fra 0 e 1 e quindi non penso sia valida la seconda maggiorazione?)
dopodichè ho provato anche con m=3 e a patto di forzare di nuovo come sopra la disuguaglianza che si vuole dimostrare è verificata.
Però non riesco ancora a generalizzare per un m generico, dato che penso mi serva una legge sulla derivazione m-esima di F(u(t)) prima di studiare la disuguaglianza che voglio provare. In più il metodo che ho utilizzato per rispettare la disuguaglianza proposta nel libro mi sembra veramente forzato a meno che non ci sia un errore nel libro... ma non penso.
Comunque spero possiate aiutarmi nel proseguimento e nei dubbi proposti. grazie e scusate il repost, ma magari può servire anche a voi come inizio per la dimostrazione..
edit: ho editato qualche cosa che avevo sbagliato a scrivere qua e là
edit2: ho aggiunto un altro dubbio -.-'
up.. scusate se riuppo ma nessuno ha qualche idea? almeno potete dirmi dove trovare questo teorema (possibilmente se ci sono contenuti scaricabili, anche in inglese) oppure altri libri o dispense sulle eqauzioni differenziali ordinarie?
io faccio l'ultimo riup e poi mi metto l'anima in pace... nessuna idea? neanche qualche consiglio su libri o dispense?
Intanto, quando si parla di funzioni analitiche, stime sulle derivate come quella disuguaglianza del primo post sono all'ordine del giorno, e che io sappia si ricavano con tecniche di variabile complessa (almeno, in una variabile è così; funzioni analitiche in più variabili non le ho mai studiate seriamente). Comunque ti consiglio di consultare il testo di Evans Partial Differential Equations, che contiene una trattazione approfondita del teorema di Cauchy-Kowalewskaja alla fine del quarto capitolo.
grazie! vedo di procurarmi il libro e vi faccio sapere poi se riesco a trovare una risposta
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