Teorema di Cauchy-Hadamard, dubbio nella dimostrazione

[Gianni_Volto]

Salve a tutti, riporto qui sotto il teorema di Cauchy-Hadamard per le serie di potenze che ci ha dato il professore.

“Data la serie di potenze complessa $ sum(a_nz^n) $, sia R $ epsilon $ [0,infinito] il numero reale (eventualmente infinito) definito dalla relazione $frac {1}{R}=lim_(n->infty) Sup (|a_n|)^(1/n)$
Allora:
I)La serie di potenze converge assolutamente in ogni punto $z$ $epsilon$ ${z$ $epsilon$ $\mathbb(C) : |z| II)La serie di potenze converge uniformemente su ogni insieme $A_{delta}={z$ $epsilon$ $\mathbb(C):|z|<=delta$ Con $delta III)La serie non converge nei punti $z$ $epsilon$ $\mathbb(C)$ tali che $|z|>R$
Il numero R si dice raggio di convergenza della serie di potenze.

Dim: Studiamo la convergenza assoluta della serie con il criterio della radice.
Sia $ L(z)=lim_{n->infty} Sup (|a_n||z|^n)^(1/n)=|z|/R $
Se $|z|R$ allora $L(z)>1$ e la serie non converge assolutamente. Il termine generale non è infinitesimo e in effetti la serie non converge nemmeno semplicemente.
”

La dimostrazione va avanti dimostrando gli altri punti, ma è su quest’ultimo punto che mi sono bloccato leggendola.
Non riesco a capire come faccia a dire che il termine generale non è infinitesimo.

Grazie anticipatamente.

[gugo82]

Per definizione di \(\limsup\), il fatto che $L(z) > 1$ implica che ci sono infiniti termini della successione $|a_nz^n|^{1/n}$ che sono maggiori di $1$; dunque la successione $a_nz^n$ non può essere infinitesima.