Teorema di cauchy hadamard

[Nausicaa912]

Non c'era nulla da capire perché il prof ha omesso la dimostrazione di tale teorema. Ma ne segue un altro la cui dimostrazione sinceramente non l'ho capita..
TEOREMA: se i termini di una serie di potenze sono definitivamente non nulli ed esiste il limite
$\lim_{n \to \infty}|a_(n+1)|/|a_n|$

allora la serie di potenze ha raggio di convergenza $\lim_{n \to \infty}|a_(n)|/|a_(n+1)|$
dimostrazione.
preso un $x$ diverso da $x_0$
si ha che
$lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| |x-x_0|^(n+1))/(|a_n||x-x_0|^n)=lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| |x-x_0|)/|a_n|$

per il criterio del rapporto segue l'asserto.

sinceramente non ho capito l'ultima parte. perché per il criterio del rapporto segue l'asserto??

[salvozungri]

"Nausicaa91":
TEOREMA: se i termini di una serie di potenze sono definitivamente non nulli ed esiste il limite
$\lim_{n \to \infty}|a_(n+1)|/|a_n|$

allora la serie di potenze ha raggio di convergenza $\lim_{n \to \infty}|a_(n)|/|a_(n+1)|$
dimostrazione.
preso un $x$ diverso da $x_0$
si ha che
$lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| |x-x_0|^(n+1))/(|a_n||x-x_0|^n)=lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| |x-x_0|)/|a_n|$

per il criterio del rapporto segue l'asserto.

sinceramente non ho capito l'ultima parte. perché per il criterio del rapporto segue l'asserto??

$lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| |x-x_0|)/|a_n|= $ ($|x-x_0|$ non dipende da $n$, pertanto possiamo portarlo fuori dal limite)
$=|x-x_0| \lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| )/|a_n|$

Il criterio del rapporto ci assicura la convergenza se $|x-x_0| \lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| )/|a_n|<1\implies |x-x_0|<\frac{1}{\lim_{n \to \infty}(|a_(n+1)| )/|a_n|}=$
$=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{(|a_(n+1)| )/|a_n|}= \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$.

Chiamando $R=\lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$ hai che la serie di potenze converge per tutti gli $x$ che soddisfano $|x-x_0|
Tutti gli altri casi si possono trovare in modo simile.

[Nausicaa912]

ah ok grazie mille, chiarissimo!

[Fingolfin]

Riporto l'attenzione su questo post perché ho bisogno di chiarirmi un dubbio. Negli appunti di lezione che ho, questo Teorema mi assicura la convergenza totale all'interno del disco di raggio di convergenza, mentre su altri libri ho letto solo di convergenza assoluta, o assoluta ed uniforme.
So bene che la convergenza assoluta ed uniforme della serie di potenze non implica quella totale, mentre il viceversa è vero. Qual è il corretto enunciato del Teorema?

[salvozungri]

Posso chiederti in quale forma ti è stato presentato il teorema? Ad ogni modo, la convergenza totale è assicurata nei compatti contenuti nel disco di convergenza. Se cerchi nel forum, troverai discussioni in merito.

[Fingolfin]

Enunciato: data una serie di potenze, e sia $\rho = (maxlim _{n \rightarrow \infty} (|a_n|)^{-1/n})^{-1}$ detto raggio di convergenza, la serie converge totalmente in ogni disco $|x| <= \lambda < \rho$ .

Forse la serie converge totalmente nel compatto $[-\lambda , \lambda]$ nel caso particolare sui Reali, ed assolutamente in $(-\rho , \rho)$ ?

[salvozungri]

Eccomi qui, scusa per il ritardo . Il tuo enunciato è corretto.
Siano [tex]\sum_{n}^\infty a_n x^n[/tex] una serie di potenze, [tex]$\rho=\frac{1}{\text{max lim}_{n\to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}[/tex] il suo raggio di convergenza, allora la serie:

-converge assolutamente in [tex](-\rho, \rho)[/tex] se [tex]\rho>0[/tex]. (Nel caso sia nullo, allora la serie di potenze converge per il solo punto [tex]x=0[/tex])
-converge totalmente in [tex][-\lambda, \lambda][/tex] con [tex]0<\lambda<\rho[/tex] (osserva che in realtà hai la convergenza totale in qualunque compatto contenuto in [tex](-\rho, \rho)[/tex])

[Err]La convergenza totale assicura la convergenza uniforme e dunque quella assoluta. Ti trovi ora?[/Err] vedi dopo.

[Fingolfin]

Sì mi trovo grazie mille. Però l'ultima cosa che hai scritto mi ha lasciato un dubbio: la convergenza uniforme implica quella assoluta?

[Fioravante Patrone1]

"Fingolfin":Sì mi trovo grazie mille. Però l'ultima cosa che hai scritto mi ha lasciato un dubbio: la convergenza uniforme implica quella assoluta?

Naturalmente no. Sei invitato a fornire un controesempio. Se non lo fornisci sei pigro. Se lo fornisci sei stato pigro.

La frase corretta sarebbe stata qualcosa del tipo: "la convergenza totale implica la convergenza assoluta e la convergenza uniforme". Immagino che Mathematico abbia scritto un po' affrettatamente. Magari era ancora affannato per il "ritardo"

[salvozungri]

D'OH!

Ecco cosa succede quando si usano alla leggera le congiunzioni, ringrazio Fioravante per aver corretto il tiro, mi scuso con Fingolfin per lo strafalcione!