Teorema di Cauchy-Hadamard

[Tannu1]

Salve ragazzi,

sapreste spiegarmi sinteticamente su cosa si basa la dimostrazione del teorema di Cauchy-Hadamard utilizzato in analisi complessa?

grazie mille.

[miuemia]

lo potreti enunciare?????

[gugo82]

"Tannu":Salve ragazzi,

sapreste spiegarmi sinteticamente su cosa si basa la dimostrazione del teorema di Cauchy-Hadamard utilizzato in analisi complessa?

grazie mille.

Se intendi il teorema sul raggio di convergenza delle serie di potenze ($rho=1/(maxlim_n |a_n|^(1/n))$), esso si basa fondamentalmente sulle proprietà del massimo limite: usando tali proprietà si possono determinare maggiorazioni (o minorazioni) dei moduli degli addendi della serie così da stabilire quando essa converge (o diverge).

Riporto l'enunciato per completezza:

"Donato Greco, nel suo libro Complementi di Analisi,":
Sia $\sum a_n(z-z_0)^n$ una serie di potenze nel campo complesso di punto iniziale $z_0in CC$.

Per la successione di termine generale $|a_n|^(1/n)$ possono presentarsi tre eventualità:

a) è limitata superiormente e risulta $maxlim_n |a_n|^(1/n)=l!=0$;
b) è infinitesima, cioè $maxlim_n |a_n|^(1/n)=lim_n |a_n|^(1/n)=0$;
c) non è limitata superiormente, cioè $maxlim_n |a_n|^(1/n)=+oo$.

Allora la serie $\sum a_n(z-z_0)^n$ nel caso a) ha raggio di convergenza $rho=1/l$, nel caso b) converge in tutto il piano complesso ($rho=+oo$), nel caso c) converge nel solo punto iniziale. Si può cioè dire, convenzionalmente, che il raggio di convergenza di $\sum a_n(z-z_0)^n$ è individuato dalla relazione:
$rho=1/(maxlim_n |a_n|^(1/n))$