Teorema di Cauchy
Salve,non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Assegnate $f(x)=(x^2-1)(x^2+1)$ e $g(x)=(x^2-1)^2$, riconoscere che esistono $x € [-1,1]$ in cui $f'(x)=g'(x)$.
Come posso procedere?Non saprei da dove partire.Grazie.
Assegnate $f(x)=(x^2-1)(x^2+1)$ e $g(x)=(x^2-1)^2$, riconoscere che esistono $x € [-1,1]$ in cui $f'(x)=g'(x)$.
Come posso procedere?Non saprei da dove partire.Grazie.
Risposte
Potresti cominciare con un calcolo esplicito della derivata, ad esempio, e poi applicare il teorema degli zeri in maniera opportuna.
Mmmh...allora le derivate dovrebbero essere le seguenti:
$f'(x)=4x^3$
$g'(x)=4x^3-4x$
Però non capisco come posso procedere con il teorema degli zeri,anche perché non lo conosco molto bene....
Qualche suggerimento?
$f'(x)=4x^3$
$g'(x)=4x^3-4x$
Però non capisco come posso procedere con il teorema degli zeri,anche perché non lo conosco molto bene....
Qualche suggerimento?
Non so se ho capito il problema... date due funzioni ti si chiede se ci sono dei valori di x compresi tra -1 e +1, tali per cui le due derivate si uguagliano? A me sembra che per x=0 ciò accada.
Esatto...Però non mi dice il risultato...
Una volta che hai a disposizione \(f^\prime \) e \(g^\prime\), tutto quello che devi fare per terminare l'esercizio è risolvere l'equazione \(f^\prime (x)=g^\prime (x)\) ossia \(f^\prime (x)-g^\prime (x)=0\) in \([-1,1]\).
In questo caso il problema è proprio banale, no?
In questo caso il problema è proprio banale, no?
Quindi in questo caso è $x=0$,vero?
E in quest'altro esercizio(mi chiede la stessa cosa):
$f(x)=1+x+x^2+x^3$
$g(x)=f(x)+senpix$
riconoscere che esistono $x € [-n,n],n € NN$,in cui $f'(x)=g'(x)$
Stessa cosa e mi viene:
$picospix=0$
Giusto?Come procedo?
E in quest'altro esercizio(mi chiede la stessa cosa):
$f(x)=1+x+x^2+x^3$
$g(x)=f(x)+senpix$
riconoscere che esistono $x € [-n,n],n € NN$,in cui $f'(x)=g'(x)$
Stessa cosa e mi viene:
$picospix=0$
Giusto?Come procedo?
Vuoi farmi credere che non sai risolvere un'equazione trigonometrica? 
Mmmh...allora è giusta? 
Comunque,dovrebbe essere per $x=1/2,3/2$?E con ciò cosa si può concludere?
Comunque,dovrebbe essere per $x=1/2,3/2$?E con ciò cosa si può concludere?
E la periodicità non la metti?
Fai più attenzione, non puoi arronzare così.
Per terminare, leggi cosa ti chiede il problema... Che tu ci creda o no, è già tutto scritto lì dentro.
Fai più attenzione, non puoi arronzare così.
Per terminare, leggi cosa ti chiede il problema... Che tu ci creda o no, è già tutto scritto lì dentro.
"gugo82":
E la periodicità non la metti?
Fai più attenzione, non puoi arronzare così.
Per terminare, leggi cosa ti chiede il problema... Che tu ci creda o no, è già tutto scritto lì dentro.
Mmmh...la periodicità direi $pix$...
Mi dispiace,ma non riesco a seguirti
Riesci a scrivere tutte le soluzioni di \(\cos \pi x=0\)?
Se no, ripetiti un po' di trigonometria prima di metterti a fare esercizi di Analisi.
Se no, ripetiti un po' di trigonometria prima di metterti a fare esercizi di Analisi.
Le soluzioni io so che sono per $cosx=0,x=pi/2,(3pi)/2 +kpi$(peridiocità).O sbaglio?
Le soluzioni di \(\cos \pi x=0\) sono tutti e soli i numeri del tipo \(\frac{1}{2}+k\) (con \(k\in \mathbb{Z}\))*; i numeri di questo tipo sono talvolta chiamati numeri semi-interi (perché differiscono di \(1/2\) da un numero intero).
L'esercizio ti chiede di determinare, per ogni fissato \(n\in \mathbb{N}\), quanti numeri del tipo \(\frac{1}{2}+k\) (con \(k\in \mathbb{Z}\)) cadono in \([-n,n]\), cioè quali e quanti sono i valori di \(k\) tali che:
\[
\begin{cases}
-n\leq \frac{1}{2} +k\\
\frac{1}{2} +k\leq n\; .
\end{cases}
\]
Quest'ultimo è un sistema nell'incognita \(k\in \mathbb{Z}\), che dovresti saper risolvere da solo.
__________
* In \(\cos \pi x=0\) si fa la sostituzione \(y=\pi x\) e l'equazione diventa \(\cos y=0\), la quale ha soluzioni \(y=\frac{\pi}{2} +k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\); ricordato che \(y=\pi x\), per determinare le soluzioni dell'equazione iniziale basta risolvere \(\pi x= \frac{\pi}{2} +k\pi\) rispetto ad \(x\).
L'esercizio ti chiede di determinare, per ogni fissato \(n\in \mathbb{N}\), quanti numeri del tipo \(\frac{1}{2}+k\) (con \(k\in \mathbb{Z}\)) cadono in \([-n,n]\), cioè quali e quanti sono i valori di \(k\) tali che:
\[
\begin{cases}
-n\leq \frac{1}{2} +k\\
\frac{1}{2} +k\leq n\; .
\end{cases}
\]
Quest'ultimo è un sistema nell'incognita \(k\in \mathbb{Z}\), che dovresti saper risolvere da solo.
__________
* In \(\cos \pi x=0\) si fa la sostituzione \(y=\pi x\) e l'equazione diventa \(\cos y=0\), la quale ha soluzioni \(y=\frac{\pi}{2} +k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\); ricordato che \(y=\pi x\), per determinare le soluzioni dell'equazione iniziale basta risolvere \(\pi x= \frac{\pi}{2} +k\pi\) rispetto ad \(x\).
Mmmh...non l'ho capito molto bene...proverò a farmelo rispiegare dalla professoressa.
Comunque ti ringrazio tantissimo!
Comunque ti ringrazio tantissimo!
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