Teorema di Cauchy
Salve!
Ho esaminato vari esempi della funzione ausiliaria $f(x)-kg(x)$ con $k=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))$, ed con $g'(x)$ che si annulla all'interno dell'intervallo $(a,b)$, e sono sempre riuscito a trovare
un punto $c $ interno a tale intervallo tale che $k=(f'(c))/(g'(c)) $,
eppure deve esistere un esempio in cui non e ' possibile, visto che contraddico una delle ipotesi del teorema, giusto?
Ho esaminato vari esempi della funzione ausiliaria $f(x)-kg(x)$ con $k=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))$, ed con $g'(x)$ che si annulla all'interno dell'intervallo $(a,b)$, e sono sempre riuscito a trovare
un punto $c $ interno a tale intervallo tale che $k=(f'(c))/(g'(c)) $,
eppure deve esistere un esempio in cui non e ' possibile, visto che contraddico una delle ipotesi del teorema, giusto?
Risposte
Penso che quella sia più che altro una ipotesi tecnica. Per esempio, se $g(x)$ è costante, succede il patatrac. Quindi per escludere cose di questo tipo uno assume che $g'$ non si annulli mai. (Ma francamente non ci ho mai riflettuto molto)
Il Teorema di Cauchy si può anche formulare posponendo l'ipotesi che sia \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \):
In questo caso, anziché partire dalla funzione ausiliaria da cui sei partito tu, si parte dalla funzione ausiliaria \( h(x) = \left ( f(b) - f(a) \right ) \cdot g(x) - \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot f(x) \), alla quale si applica il Teorema di Rolle per ottenere la \( (1) \).
Se poi \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), allora \( g'(\xi) \neq 0 \) e, sempre per il Teorema di Rolle, risulta \( g(b) - g(a) \neq 0 \): infatti se per assurdo fosse \( g(b) - g(a) = 0 \), allora sarebbe \( g(a) = g(b) \) e quindi, per il Teorema di Rolle, esisterebbe \( \bar{x} \in ]a;b[ \) tale che \( g'(\bar{x}) = 0 \), in contraddizione con \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \). Sicché, partendo dalla \( (1) \), si può dividere per \( \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot g'(\xi) \neq 0 \) per ottenere la \( (2) \).
Quindi:
a) qualora si omettesse l'ipotesi \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), risulterebbe comunque valida la \( (1) \);
b) l'ipotesi che sia \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \) serve a garantire, come sopra detto, che sia \( g(b) - g(a) \neq 0 \) perché il Teorema di Rolle stabilisce, sotto le già citate ipotesi di continuità e derivabilità, che vale la seguente implicazione \( g(a) = g(b) \implies \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \) ma questa implicazione non è affatto equivalente alla seguente implicazione \( \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \implies g(a) = g(b) \).
Mettendo assieme questi due fatti capisci perché succede quello che denunci: che sia o meno \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), resta comunque valida la \( (1) \); il Teorema di Rolle stabilisce che vale \( g(a) = g(b) \implies \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \) e questa implicazione non è equivalente a \( \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \implies g(a) = g(b) \), il che significa che non è vero che dall'essere \( g'(\mu) = 0 \) per qualche \( \mu \in ]a;b[ \) si possa trarre \( g(b) - g(a) = 0 \), ovvero può benissimo accadere che sia \( g'(\mu) = 0 \) per qualche \( \mu \in ]a;b[ \) e \( g(b) - g(a) \neq 0 \); a questo punto se la \( (1) \) è verificata per un certo \( \xi \in ]a;b[ \) tale che \( g'(\xi) \neq 0 \), è possibile che si possa comunque dividere per \( \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot g(\xi) \neq 0 \), pur essendo \( g'(\mu) = 0 \) per qualche \( \mu \in ]a;b[ \), andando ad ottenere la \( (2) \).
Perché allora aggiungere l'ipotesi che sia \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \) e presentare direttamente o unicamente il Teorema di Cauchy nella forma frazionaria? Onestamente non lo so ed infatti trovo (ma questo è un parere del tutto personale) molto più equilibrate le formulazioni che pospongono questa ipotesi. Anche l'ipotesi che questa ipotesi venga aggiunta per evitare i problemi derivanti da eventuali funzioni costanti (come suggerisce dissonance) non mi convince del tutto: basta infatti posporre l'ipotesi della discordia e la \( (1) \) funziona, seppur con una uguaglianza verificata in modo banale (se infatti una delle due funzioni è costante allora la differenza tra i valori della funzione negli estremi di \( [a;b] \) è nulla così com'è nulla la derivata prima della funzione in un qualunque punto di \( ]a;b[ \)). Inoltre l'obbligatorietà di questa ipotesi, se è da un lato utile per evitare casi banali, dall'altro ci priva della \( (1) \) (e anche della \( (2) \)) in parecchi casi, per esempio con funzioni \( f \) e \( g \) con assegnazione \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^{2} \) nell'intervallo \( [-\frac{1}{2};1] \).
Siano \( f \colon [a;b] \to \mathbb{R} \) e \( g \colon [a;b] \to \mathbb{R} \) continue in \( [a;b] \) e derivabili in \( ]a;b[ \). Allora esiste \( \xi \in ]a;b[ \) tale che:
\[
(1) \qquad \left ( f(b) - f(a) \right ) \cdot g'(\xi) = \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot f'(\xi)
\]
Se poi si ha anche \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), allora dalla precedente uguaglianza segue che
\[
(2) \qquad \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
\]
In questo caso, anziché partire dalla funzione ausiliaria da cui sei partito tu, si parte dalla funzione ausiliaria \( h(x) = \left ( f(b) - f(a) \right ) \cdot g(x) - \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot f(x) \), alla quale si applica il Teorema di Rolle per ottenere la \( (1) \).
Se poi \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), allora \( g'(\xi) \neq 0 \) e, sempre per il Teorema di Rolle, risulta \( g(b) - g(a) \neq 0 \): infatti se per assurdo fosse \( g(b) - g(a) = 0 \), allora sarebbe \( g(a) = g(b) \) e quindi, per il Teorema di Rolle, esisterebbe \( \bar{x} \in ]a;b[ \) tale che \( g'(\bar{x}) = 0 \), in contraddizione con \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \). Sicché, partendo dalla \( (1) \), si può dividere per \( \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot g'(\xi) \neq 0 \) per ottenere la \( (2) \).
Quindi:
a) qualora si omettesse l'ipotesi \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), risulterebbe comunque valida la \( (1) \);
b) l'ipotesi che sia \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \) serve a garantire, come sopra detto, che sia \( g(b) - g(a) \neq 0 \) perché il Teorema di Rolle stabilisce, sotto le già citate ipotesi di continuità e derivabilità, che vale la seguente implicazione \( g(a) = g(b) \implies \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \) ma questa implicazione non è affatto equivalente alla seguente implicazione \( \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \implies g(a) = g(b) \).
Mettendo assieme questi due fatti capisci perché succede quello che denunci: che sia o meno \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \), resta comunque valida la \( (1) \); il Teorema di Rolle stabilisce che vale \( g(a) = g(b) \implies \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \) e questa implicazione non è equivalente a \( \exists \mu \in ]a;b[ : g'(\mu) = 0 \implies g(a) = g(b) \), il che significa che non è vero che dall'essere \( g'(\mu) = 0 \) per qualche \( \mu \in ]a;b[ \) si possa trarre \( g(b) - g(a) = 0 \), ovvero può benissimo accadere che sia \( g'(\mu) = 0 \) per qualche \( \mu \in ]a;b[ \) e \( g(b) - g(a) \neq 0 \); a questo punto se la \( (1) \) è verificata per un certo \( \xi \in ]a;b[ \) tale che \( g'(\xi) \neq 0 \), è possibile che si possa comunque dividere per \( \left ( g(b) - g(a) \right ) \cdot g(\xi) \neq 0 \), pur essendo \( g'(\mu) = 0 \) per qualche \( \mu \in ]a;b[ \), andando ad ottenere la \( (2) \).
Perché allora aggiungere l'ipotesi che sia \( \forall x \in ]a;b[, g'(x) \neq 0 \) e presentare direttamente o unicamente il Teorema di Cauchy nella forma frazionaria? Onestamente non lo so ed infatti trovo (ma questo è un parere del tutto personale) molto più equilibrate le formulazioni che pospongono questa ipotesi. Anche l'ipotesi che questa ipotesi venga aggiunta per evitare i problemi derivanti da eventuali funzioni costanti (come suggerisce dissonance) non mi convince del tutto: basta infatti posporre l'ipotesi della discordia e la \( (1) \) funziona, seppur con una uguaglianza verificata in modo banale (se infatti una delle due funzioni è costante allora la differenza tra i valori della funzione negli estremi di \( [a;b] \) è nulla così com'è nulla la derivata prima della funzione in un qualunque punto di \( ]a;b[ \)). Inoltre l'obbligatorietà di questa ipotesi, se è da un lato utile per evitare casi banali, dall'altro ci priva della \( (1) \) (e anche della \( (2) \)) in parecchi casi, per esempio con funzioni \( f \) e \( g \) con assegnazione \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^{2} \) nell'intervallo \( [-\frac{1}{2};1] \).
Ottime spiegazioni!
Grazie!
Grazie!
"francicko":
Ottime spiegazioni!
Grazie!
Proprio vero. Grazie!
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