Teorema di Cauchy

[gugo82]

Ho sempre incrociato il teorema di cui al titolo nella forma seguente:

Siano \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) funzioni continue in \([a,b]\) e derivbili in \(]a,b[\).
Esiste un punto \(\theta \in ]a,b[\) tale che:
\[
\tag{C}
f^\prime (\theta)\cdot \big( g(b)-g(a)\big) = g^\prime (\theta)\cdot \big( f(b)-f(a)\big)\; .
\]
inoltre, se \(g^\prime (x)\neq 0\) per ogni \(x\in ]a,b[\), allora vale la formula degli incrementi finiti:
\[
\frac{f^\prime (\theta)}{g^\prime (\theta)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\; .
\]

La dimostrazione, come evidente, si fa applicando il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria \( \psi (x):= \big( f(b) - f(a)\big)\cdot \big( g(x) - g(a)\big) - \big( g(b) - g(a)\big)\cdot \big( f(x) - f(a)\big)\); e l'ipotesi ulteriore \(g^\prime (x)\neq 0\) assicura che \(g(b)\neq g(a)\) (ché altrimenti scatterebbe Rolle!), sicché in tale ipotesi la formula degli incrementi finiti si ottiene con una semplice divisione m.a.m. dalla (C).

Tuttavia, leggo su un fascicolo un enunciato un po' differente:

[Stesse assunzoini iniziali su \(f\) e \(g\) di prima.]
Se \(f^\prime\) e \(g^\prime\) non hanno zeri in comune in \(]a,b[\), allora esiste un punto \(\theta \in ]a,b[\) tale che:
\[
\frac{f^\prime (\theta)}{g^\prime (\theta)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\; .
\]

Tale enunciato mi è parso un po' strano, poiché non vedo come l'ipotesi in cui \(f^\prime\) e \(g^\prime\) non abbiano zeri in comune riesca a garantire la possibilità di effettuare divisioni per \(g^\prime (\theta)\) e/o per \(g(b)-g(a)\)...

Qualche idea?

[vict85]

Penso che l'unica cosa che si possa dire è che sotto quelle ipotesi una delle seguenti formule è ben definita:
\[ \frac{f'(\theta)}{g'(\theta)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \quad \quad \frac{g'(\theta)}{f'(\theta)} = \frac{g(b) - g(a)}{f(b) - f(a)}. \]

Ma non puoi sapere quale delle due puoi usare.

Esempio:

Nel caso \(\displaystyle f(x) = x+3 \), \(\displaystyle g(x) = -2 \) è evidente che \(\displaystyle g' = 0 \) ed \(\displaystyle f' = 1 \) non possiedano zeri in comune ma non puoi certo dividere per \(\displaystyle g' \)

[Rigel1]

Devo dire che l'enunciato sembra piuttosto sospetto anche a me.

[gugo82]

Oh, scusate... Nell'enunciato della versione "sospetta" ho omesso l'ipotesi:

[...] e se \(g(b)\neq g(a)\) [...]

che non ricordavo di aver letto.

A questo punto la cosa dovrebbe tornare.

Dim.: Considero la funzione ausiliaria:
\[
h(x) := f(x) - \frac{f(b) -f(a)}{g(b) - g(a)}\ \big( g(x) - g(a)\big) \; ,
\]
la quale soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle in $[a,b]$ (è continua, derivabile nell'interno ed ha $h(a) = f(a)=h(b)$); pertanto esiste (almeno) un punto $\theta\in ]a,b[$ tale che \(h^\prime (\theta ) =0\); d'altro canto è:
\[
h^\prime (x) = f^\prime (x) - \frac{f(b) -f(a)}{g(b) - g(a)}\ g^\prime (x)\; ,
\]
cosicché:
\[
f^\prime (\theta) = \frac{f(b) -f(a)}{g(b) - g(a)}\ g^\prime (\theta )\; .
\]
Se \(g^\prime (\theta )\neq 0\), allora la formula degli incrementi finiti si può ricavare senza problemi.
Invece \(g^\prime (\theta ) = 0\) non può mai esser vera, giacché ciò importerebbe \(f^\prime (\theta ) =0\), il che nell'ipotesi di assenza di zeri comuni ad \(f^\prime\) ed a \(g^\prime\) è assurdo.

Quindi, a questo punto, mi verrebbe da dire che questa seconda versione del teorema di Cauchy è un po' più generale della prima.

[Rigel1]

Ma a questo punto non discende direttamente da (C), anche senza scriverci tutto un enunciato apposta?

[gugo82]

Certo... Ed in fondo credo sia questo che mi "inquietava".
Insomma, la (C) è già un ottimo risultato, dato che non fa uso di alcuna ipotesi supplementare sulle funzioni in gioco, e sinceramente non vedo perchè complicarsi la vita con enunciati più "difficili" (o "esotici").

[Rigel1]

"gugo82":

...
inoltre, se \(g^\prime (x)\neq 0\) per ogni \(x\in ]a,b[\), allora vale la formula degli incrementi finiti:
\[
\frac{f^\prime (\theta)}{g^\prime (\theta)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\; .
\]

Questa conseguenza è esattamente quella che si usa per dimostrare il teorema di l'Hopital (che, in buona sostanza, è l'unica applicazione del teorema di Cauchy in un corso di Analisi 1), quindi ha una sua dignità di esistere.
Onestamente, ma è un'opinione personale, varianti più "esotiche" che sono diretta conseguenza dell'enunciato principale non mi sembra abbiano la medesima dignità.