Teorema di Casorati Weierstrass

[leev]

Ciao!

Cerco aiuto per capire la prova, tratta dal mio libro, di questo teorema.
Vi copio il tutto.

Teorema:
Sia f olomorfa in un insieme $U\\{a}$ e sia $a$ una singolarità essenziale.
Allora per ogni intorno $VsubeU$ di $a$, abbiamo che $f(V\\{a})$ è denso in $CC$.

Dimostrazione:
Supponiamo per l'assurdo che esista $varepsilon>0$ e $winCC$, tali che : $f(V\\{a}) nn B(varepsilon,w) = O/$, i.e $ |f(z) - w| >= varepsilon$ per tutti gli $zinV\\{a}$.
Allora la funzione $g(z) := 1/(f(z) - w)$ , per $zinV\\{a}$, è olomorfa ed è limitata da $1/varepsilon$, e dunque, per un teorema di Riemann, ha una singolarità eliminabile [o trascurabile, nn so come sia in italiano..] in $a$.
Fin qua tutto ok, ma ora arriva la parte che non mi è chiara:
Allora: se $g(a)!=0$, $f = 1/(g) + w$ a una singolarità eliminabile in $a$; e se $g(a)=0$, $f = 1/(g) + w$ ha un polo in $a$.
In ogni caso non c'è una singolarità essenziale in $a$, e qua sta la contraddizione che dimostra il teorema.

Il mio problema per l'appunto è: perché $g(a)=0$ , farebbe dire che $f$ ha un polo in $a$, non potrebbe essere g una serie a infiniti termini non nulli?!? (anche se pure il caso $g(a)!=0$ non mi è limpido).

Grazie, ciao!

[Luca.Lussardi]

La funzione $g$ è olomorfa per l'ipotesi di assurdo, per cui la funzione $1/g$ può avere solo poli come singolarità, e precisamente poli negli zeri di $g$: infatti $1/|g(z)| -> +\infty$ se $z->a$, zero di $g$. Quindi se $g(a)=0$ allora $1/g$ ha un polo in $z=a$, e dunque anche $f$ viene ad avere un polo in $z=a$.

[leev]

Ma posso sapere che definizione (o proprietà) dei poli utilizzi lì?
(anche perché credo ne esistano diverse equivalenti..e le mie non mi convincono)

grazie

[Maxos2]

Beh, i poli si possono definire partendo dalla serie di Laurent della funzione data.

Una funzione ha un polo di ordine k in un punto se e solo se il coefficiente a(-k) della serie di Laurent è il primo diverso da 0.

[Luca.Lussardi]

Quella è la definizione; io ho usato un Teorema che afferma che $f$ ha un polo in $z=a$, singolarità isolata, se e solo se $|f(z)| -> +\infty$ per $z -> a$.

[Maxos2]

Eh ma il viceversa non vale, se lo vuoi enunciare così devi dire che f ha un polo in a se e solo se |f| ha limite infinito e però |1/f| ha limite finito.

Sbaglio?

[Luca.Lussardi]

Sì, sbagli; la condizione $|f(z)| -> +\infty$ per $z -> a$ è necessaria e sufficiente affinchè $f$ abbia un polo in $z=a$, se $z=a$ è singolarità isolata. Non serve controllare $1/f$.

[Maxos2]

Sì scusa, che stupido, pensavo all'enunciato con "limitata-illimitata", l'esistenza del limite, unitamente all'essere isolata ovviamente implica la limitatezza dell'inverso, chiedo venia.