Teorema di Borel sulle funzioni $\C^infty$

[isaac888]

Per favore, ho un orale di Calcolo fra pochissimi giorni... Qualcuno mi potrebbe postare l'enunciato e/o possibilmente dirmi dove posso trovare questo teorema con un link o qualcosa???


Grazie 1000...

[NightKnight1]

Teorema di Borel: se $(a_n)$ è una successione reale allora esiste $f \in C^{oo} (RR, RR)$ tale che $\forall n \in NN, f^{(n)} (0) = a_n$.

Una dimostrazione si trova ad esempio in Roger Godement - Analysis II, pagina 138.

[isaac888]

grazie mille per l'enunciato, non saprei come avrei fatto ... scusami se insisto, ma visto che quel libro non ce l'ho, mi sapresti indicare qualcosina in rete?

[NightKnight1]

In rete non ho mai trovato tracce di questo teorema. Quello che ti indico è il primo libro su cui l'ho trovato. Comunque il libro si scarica facilmente da eMule.

[gugo82]

Beh, in effetti è un teorema piuttosto tecnico, nel senso che fa entrare in gioco nozioni che difficilmente si incontrano nei corsi di Analisi di base (mi riferisco, in particolare, alla regolarizzazione per convoluzione) e non serve a molto nello sviluppo della teoria.

Ho letto la dimostrazione riportata dal Godement; la cosa strana è che cita come fonte uno scritto di H. Mirkil del 1956 che però non mi è riuscito di trovare (e, tra l'altro, non c'è la bibliografia in coda al volume )... Mi sa che devo cercare su MathSciNet per qualche info in più.

[dissonance]

NightKnight e Gugo si ricorderanno di questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 36354.html
Qui avevamo sviluppato degli strumenti che permettono di dimostrare questo teorema di Borel. Non è richiesta la conoscenza del prodotto di convoluzione ma solo dei fondamentali del calcolo.
Una volta ottenuta la funzione che dice N.K. nel primo post (che raccorda in maniera liscia due semirette orizzontali) non deve essere difficile usare qualcosa del genere per raccordare in maniera liscia i punti della successione.

[NightKnight1]

"dissonance":NightKnight e Gugo si ricorderanno di questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 36354.html
Qui avevamo sviluppato degli strumenti che permettono di dimostrare questo teorema di Borel. Non è richiesta la conoscenza del prodotto di convoluzione ma solo dei fondamentali del calcolo.
Una volta ottenuta la funzione che dice N.K. nel primo post (che raccorda in maniera liscia due semirette orizzontali) non deve essere difficile usare qualcosa del genere per raccordare in maniera liscia i punti della successione.

Esattamente!!!! Infatti il nostro professore di Analisi II, quando dimostrò il teorema di Borel, sorvolò abbastanza sulla costruzione di una funzione $\eta \in C^{oo}(RR,RR)$ tale che:
$\eta(x)=0$ se $x \leq -2$ o $x \geq 2$
$\eta(x)=1$ se $-1 \leq x \leq 1$ e
che sia crescente in $[-2,-1]$ e decrescente $[1,2]$.
E quindi quando preparai l'orale scrissi quel post..