Teorema di Bolzano Weierstrass
Salve a tutti
Ho un piccolo problema nella comprensione di questo teorema.
Il Teorema afferma che : "Sia $a_n$ una successione limitata. Allora esiste una sua estratta convergente"
Ok, ma non si era detto che una successione limitata, non è detto che ammetta limite ?
tipo $a_n = (-1)^n$
Come può esserci una estratta di una successione limitata che non ammette limite, che invece lo ammette?
Devo intuire la estratta come nel caso di una funzione su cui si può operare una restrizione affinchè sia iniettiva per esempio?
E nel caso dell'esempio come ci si comporta.
scusate se sto scrivendo cavolate.
Per me è importante capire questo aspetto visto che tale teorema è molto utilizzato, non voglio avere buchi.
Grazie
Ho un piccolo problema nella comprensione di questo teorema.
Il Teorema afferma che : "Sia $a_n$ una successione limitata. Allora esiste una sua estratta convergente"
Ok, ma non si era detto che una successione limitata, non è detto che ammetta limite ?
tipo $a_n = (-1)^n$
Come può esserci una estratta di una successione limitata che non ammette limite, che invece lo ammette?
Devo intuire la estratta come nel caso di una funzione su cui si può operare una restrizione affinchè sia iniettiva per esempio?
E nel caso dell'esempio come ci si comporta.
scusate se sto scrivendo cavolate.
Per me è importante capire questo aspetto visto che tale teorema è molto utilizzato, non voglio avere buchi.
Grazie
Risposte
Beh penso che il problema sia semplicemente nel non aver visto o capito cosa sia una sottosuccessione estratta. A parole, è una nuova successione i cui termini sono solo alcuni di quelli della successione di partenza, presi nello stesso ordine in cui comparivano. Però devono essere ugualmente infiniti, quindi non è che a un certo punto puoi fermarti e smettere di prenderli. Nel caso di quella successione, per avere una sottosuccessione convergente (addirittura costante) puoi prendere ad esempio quella formata da tutti i termini con $n$ pari.
Per una definizione più rigorosa prova a guardare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Sottosuccessione .
Per una definizione più rigorosa prova a guardare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Sottosuccessione .
"yellow":
Beh penso che il problema sia semplicemente nel non aver visto o capito cosa sia una sottosuccessione estratta. A parole, è una nuova successione i cui termini sono solo alcuni di quelli della successione di partenza, presi nello stesso ordine in cui comparivano. Però devono essere ugualmente infiniti, quindi non è che a un certo punto puoi fermarti e smettere di prenderli. Nel caso di quella successione, per avere una sottosuccessione convergente (addirittura costante) puoi prendere ad esempio quella formata da tutti i termini con $n$ pari.
Per una definizione più rigorosa prova a guardare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Sottosuccessione .
Ok, capito perfettamente, è come avevo intuito, si applica una restrizione ad un insieme ugualmente infinito che però mi restituisce una successione estratta con limite.
Nel caso esattamente $n$ può essere o pari o dispari.
Grazie ancora.
Come vedi dal disegno, i puntini neri rappresentano gli $a_n$ della successione $sinn$; quest'ultima è una successione limitata, però, da essa, è possibile estrarre alcuni elementi (i puntini rossi), che, per una scelta opportuna degli indici, converge ad un determinato limte finito (linea rossa).
http://i55.tinypic.com/1si13o.jpg
http://i55.tinypic.com/1si13o.jpg
"Soscia":
Come vedi dal disegno, i puntini neri rappresentano gli $a_n$ della successione $sinn$; quest'ultima è una successione limitata, però, da essa, è possibile estrarre alcuni elementi (i puntini rossi), che, per una scelta opportuna degli indici, converge ad un determinato limte finito (linea rossa).
http://i55.tinypic.com/1si13o.jpg
perfetto, ho anche la visione grafica.
Grazie
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