Teorema di Bolzano. Qualcuno ci capisce qualcosa?
Qualcuno mi fa capire la dimostrazione del teorema di Bolzano spiegandomi anche a che serve.
Ricordo che il teorema di Bolzano dice:
Se una funzione è continua e il suo dominio è un intervallo anche il codominio sarà un intervallo.
Il mio prof dimostra il teorema utilizzando un altro teorema, quello della permanenza del segno locale, l'unico problema è che poi non dimostra quest'ultimo.
Ricordo che il teorema di Bolzano dice:
Se una funzione è continua e il suo dominio è un intervallo anche il codominio sarà un intervallo.
Il mio prof dimostra il teorema utilizzando un altro teorema, quello della permanenza del segno locale, l'unico problema è che poi non dimostra quest'ultimo.
Risposte
La dimostrazione che so io si basa su roba ancora piu' "difficile" : le funzioni continue mandano compatti in compatti, e in R i compatti sono solo i chiusi e limitati, ossia gli interavlli.
Pero' ora che ci penso puoi fare la dimostrazione per assurdo: se l'immagine non fosse un intervallo, allora treresti una sucessione Xn che tenede ad un certo X, ma la cui immagine f(Xn) non tende a f(X). Si tratta di formalizzarla un po'.
Platone
Pero' ora che ci penso puoi fare la dimostrazione per assurdo: se l'immagine non fosse un intervallo, allora treresti una sucessione Xn che tenede ad un certo X, ma la cui immagine f(Xn) non tende a f(X). Si tratta di formalizzarla un po'.
Platone
Io pensavo ad una cosa più semplice, però, non so se va bene.
L'intersezione di due convessi è un convesso (I enunciato).
La funzione non esiste solo nelle intersezioni tra il dominio e il codominio? Se è così e la funzione è continua il problema si risolve. Il dominio è sicuramente un convesso ed anche il codominio lo è. Infatti se consideriamo codominio e dominio come un intersezione essenziale per la continuità di f ne viene che il codominio sarà necessariamente convesso per l'inverso del primo enunciato che ho scritto.
Altro spunto di riflessione
In effetti, sarebbe come traslare una figura che rimane uguale a se stessa e quindi rimane convessa nel nostro caso.
Che ne dici Platone? So che è brutta a dirsi ma potrebbe andare?
L'intersezione di due convessi è un convesso (I enunciato).
La funzione non esiste solo nelle intersezioni tra il dominio e il codominio? Se è così e la funzione è continua il problema si risolve. Il dominio è sicuramente un convesso ed anche il codominio lo è. Infatti se consideriamo codominio e dominio come un intersezione essenziale per la continuità di f ne viene che il codominio sarà necessariamente convesso per l'inverso del primo enunciato che ho scritto.
Altro spunto di riflessione
In effetti, sarebbe come traslare una figura che rimane uguale a se stessa e quindi rimane convessa nel nostro caso.
Che ne dici Platone? So che è brutta a dirsi ma potrebbe andare?
Innanzi tutto scusa ma la prima parte del postm precedente eì sbagliata:mi sono letteralmente confuso ,nn e' vero ke i compatti di R sono TUTTI GLI INTERVALLI.
Avrei dovuto dire i connessi.( cmq e' anke vero ke le funzioni continue mandano compatti in compatti).
Nno cosa intendi per convessi e per intersezione essenziale.
Prova a spiegarmelo e poi vedo cosa t pèosso dire,
Platone
Avrei dovuto dire i connessi.( cmq e' anke vero ke le funzioni continue mandano compatti in compatti).
Nno cosa intendi per convessi e per intersezione essenziale.
Prova a spiegarmelo e poi vedo cosa t pèosso dire,
Platone
Un convesso è una particolare figura geometrica tale che, presi due punti qualsiasi, è sempre possibile unirli con un segmento i cui punti sono tutti compresi nella figura. Ad esempio, quadrati, circonferenze, rettangoli sono convessi.
Ora si dimostra che la soluzione di una disequazione è un convesso (convessi sono anche le rette e le semirette).
La questione che mi pongo e se una funzione, in fin dei conti, non sia contenuta in un convesso.
Infatti il dominio è un convesso, il codominio pure (se ci pensiamo entrambi si determinano con delle disequazioni) , e se non dico corbellerie è dall'intersezione del dominio con il codominio che si determina la parte di piano dove è presente la funzione.
Ora c'è un teorema il quale afferma che l'unione di due convessi è un altro convesso (prova ad unire 2 quadrati o 2 circonferenze), se fosse possibile il contrario di questo enunciato, dalla continuità della funzione e dalla convessità del dominio (dire che il dominio è un intervallo o dire che è un convesso è la stessa cosa), si dedurrebbe automaticamente la convessità del codominio.
Ora si dimostra che la soluzione di una disequazione è un convesso (convessi sono anche le rette e le semirette).
La questione che mi pongo e se una funzione, in fin dei conti, non sia contenuta in un convesso.
Infatti il dominio è un convesso, il codominio pure (se ci pensiamo entrambi si determinano con delle disequazioni) , e se non dico corbellerie è dall'intersezione del dominio con il codominio che si determina la parte di piano dove è presente la funzione.
Ora c'è un teorema il quale afferma che l'unione di due convessi è un altro convesso (prova ad unire 2 quadrati o 2 circonferenze), se fosse possibile il contrario di questo enunciato, dalla continuità della funzione e dalla convessità del dominio (dire che il dominio è un intervallo o dire che è un convesso è la stessa cosa), si dedurrebbe automaticamente la convessità del codominio.
Anchio intendevo quello per insieme convesso, ma non lo avevo mai visto questo termine al fianco di un insieme monodimensionale.
Non ho ben capito la parte finale del tuo ragionamento (forse pensavi un termine e ne hai scritto un altro, o più semplicemente sono io che non ho capito e basta).
Prova a postare meglio.
Platone
Non ho ben capito la parte finale del tuo ragionamento (forse pensavi un termine e ne hai scritto un altro, o più semplicemente sono io che non ho capito e basta).
Prova a postare meglio.
Platone
Nella parte finale dico che la funzione, per essere continua, non può che essere un intersezione di convessi. A questo punto se, per ipotesi, il dominio è già un convesso, anche il dodominio lo sarà.
Credo di aver capito cosa vuoi dire. Il fatti è che tu stai pensando alla funzione come al suo grafico, mentre io some la "legge" che manda un elemento del dominio nel corrispondente elemento del codominio.
Quello che dici è cmq coretto.
Ma non so se sai perchè, nel senso che hia semplicemente spostato il problema di dimostrare una cosa nel dimostrarne un'altra.
Ora se di ciò che hai detto sai la dimostrazione, allora puoi ritener conclusa la risposta alla domanda che hai postato in questo topic, altrimenti non hai fatto molti passi avanti.
Fammi sapere, eventualmente posso postarti io la dimostrazione.
Platone
Quello che dici è cmq coretto.
Ma non so se sai perchè, nel senso che hia semplicemente spostato il problema di dimostrare una cosa nel dimostrarne un'altra.
Ora se di ciò che hai detto sai la dimostrazione, allora puoi ritener conclusa la risposta alla domanda che hai postato in questo topic, altrimenti non hai fatto molti passi avanti.
Fammi sapere, eventualmente posso postarti io la dimostrazione.
Platone
Beh io pensavo che fosse questa una sorta di dimostrazione.
Una funzione continua è un convesso.
La parte di piano in cui passa la funzione è data dall'intersezione del codominio e del dominio.
Il dominio è un convesso per ipotesi.
L'intersezione di convessi genera altri convessi.
Il codominio non potrà che essere un convesso.
Comunque io di solito arronzo un pò troppo le dimostrazioni, a quanto ho capito pure secondo te il concetto è giusto, però, se hai un modo migliore di esprimerlo o una migliore dimostrazione mi faresti un grande piacere a descrivermela.
Una funzione continua è un convesso.
La parte di piano in cui passa la funzione è data dall'intersezione del codominio e del dominio.
Il dominio è un convesso per ipotesi.
L'intersezione di convessi genera altri convessi.
Il codominio non potrà che essere un convesso.
Comunque io di solito arronzo un pò troppo le dimostrazioni, a quanto ho capito pure secondo te il concetto è giusto, però, se hai un modo migliore di esprimerlo o una migliore dimostrazione mi faresti un grande piacere a descrivermela.
Attenzione:
"Una funzione continua è un convesso"; questo è falso, è sempre vero solo se il dominio è concesso (e cmq anche questo va dimostrato)
Dire che "L'intersezione di convessi genera altri convessi" non vuol dire che tutti i convessi cono intersezione di altri convessi.
"La parte di piano in cui passa la funzione è data dall'intersezione del codominio e del dominio", forse dal prodotto cartesiano.
Cmq ti ripeto che la tua idea la trovo coretta; ora è questione di che livello di rigore cerchi.
Platone
"Una funzione continua è un convesso"; questo è falso, è sempre vero solo se il dominio è concesso (e cmq anche questo va dimostrato)
Dire che "L'intersezione di convessi genera altri convessi" non vuol dire che tutti i convessi cono intersezione di altri convessi.
"La parte di piano in cui passa la funzione è data dall'intersezione del codominio e del dominio", forse dal prodotto cartesiano.
Cmq ti ripeto che la tua idea la trovo coretta; ora è questione di che livello di rigore cerchi.
Platone
Comunque, te lo ripeto, se hai qualche dimostrazione sottomano potresti postarmela.
Allora: anzitutto in R, i convessi coincidono con i connessi. Un connesso è un insieme che non si può scrivere come unione di due insiemi aperti disgiunti (e, ovviamente, non vuoti). Quindi gli intervalli sono tutti e soli i connessi diR (intervallo in senso lato, cioè anche una semiretta è un intervallo).
In dominio è per ipotesi connesso, quindi della forma (a,b) (con a e b che possono anche essere + e - infinito).
Procediamo per assurdo: sia f(a,b) non connesso, cioè f(a,b) = T u V (con u ho indicato il simbolo di unione) e ne T ne V sono aperti disgiunti vuoti.
Ma allora
(a,b) = (f^(-1))(f(a,b)) = (f^(-1))(T u V) = (f^(-1))(T) u (f^(-1))(V)
dove l'ultimo passaggio è giustificato dalla continuità della funzione. Sempre della continuità della funzione si ha che la controimmagine di aperti è aperta (questo segue dalla definizione di continuità), e ovviamente per la definizione di funzione (che è univoca) la controimmagine di aperti disgiunti è ancora costituita da aperti disgiunti; quindi abbiamo scritto (a,b) (connesso) come unione disgiunta di dua aperti non vuoti: assurdo.
Quindi effettivamente, se il dominio è connesso (ossia convesso), anche la sua immagine lo è.
Spero di essere stato chiare: non è difficile, se provi ascivertelo su un voglio vedrai che ti torna.
Ad ogni modo se qualcosa non ti è chiara chiedi pure.
Platone
In dominio è per ipotesi connesso, quindi della forma (a,b) (con a e b che possono anche essere + e - infinito).
Procediamo per assurdo: sia f(a,b) non connesso, cioè f(a,b) = T u V (con u ho indicato il simbolo di unione) e ne T ne V sono aperti disgiunti vuoti.
Ma allora
(a,b) = (f^(-1))(f(a,b)) = (f^(-1))(T u V) = (f^(-1))(T) u (f^(-1))(V)
dove l'ultimo passaggio è giustificato dalla continuità della funzione. Sempre della continuità della funzione si ha che la controimmagine di aperti è aperta (questo segue dalla definizione di continuità), e ovviamente per la definizione di funzione (che è univoca) la controimmagine di aperti disgiunti è ancora costituita da aperti disgiunti; quindi abbiamo scritto (a,b) (connesso) come unione disgiunta di dua aperti non vuoti: assurdo.
Quindi effettivamente, se il dominio è connesso (ossia convesso), anche la sua immagine lo è.
Spero di essere stato chiare: non è difficile, se provi ascivertelo su un voglio vedrai che ti torna.
Ad ogni modo se qualcosa non ti è chiara chiedi pure.
Platone
Tutto chiaro.
Grazie.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo