Teorema di Bolzano
Nella dimostrazione del teorema di Bolzano quando diciamo che l'insieme E, costituito da tutti gli $x$ tali che $f(x)$ è negativa e che questo insieme non è vuoto per ipotesi, infatti $f(a)f(b)<0$.. questa condizione che E non è vuoto è una condizione nescessaria affinche $f$ abbia uno zero o no ? perchè?
Risposte
si perche se non c sono punti, a maggior ragione non ci posso essere zeri 
Io credevo che la condizione NON FOSSE NECESSARIA! mhmm...
è una condizione necessaria e/o sufficiente??
è sufficiete che non sia vuoto affichè, con le ipotesi del teorema, esista almeno uno zero
Ma non è vero... Perchè se Prendo un funzione che abbia una zero nel primo estremo e una funzione nel secondo estremo...E che abbia comunque uno zero.. questo fatto non lo deriva da Bolzano.. La condizione che la f sia negativa in un estremo e positiva nell'altro è soltanto sufficiente ma non necessariaa...
Hai
\[ E := \lbrace x \in [a,\, b] : f(x) < 0 \rbrace \]
Poiché è necessario che \( f(a)\, f(b) < 0 \) e tale ipotesi implica che \( E \) non è vuoto, allora il fatto che \( E \) sia non vuoto è necessario.
\[ E := \lbrace x \in [a,\, b] : f(x) < 0 \rbrace \]
Poiché è necessario che \( f(a)\, f(b) < 0 \) e tale ipotesi implica che \( E \) non è vuoto, allora il fatto che \( E \) sia non vuoto è necessario.
Ad esempio la funzione $f(x)= senx $ nell intervallo $(0 2 pigreco) $ le condizioni di Bolzano non sono soddisfatte ma la funzione ha uno zero..
"Riccardo Desimini":
Hai
\[ E := \lbrace x \in [a,\, b] : f(x) < 0 \rbrace \]
Poiché è necessario che \( f(a)\, f(b) < 0 \) e tale ipotesi implica che \( E \) non è vuoto, allora il fatto che \( E \) sia non vuoto è necessario.
Allora il fatto che sia non vuoto è necessario per cosa?
prova a dimostrare il teorema supponendo che $E$ sia vuoto e vediamo cosa succede
"Esposito.sofia":
Allora il fatto che sia non vuoto è necessario per cosa?
È necessario per applicare il teorema di Bolzano.
Se la tua domanda è invece:
«Il fatto che \( E \) sia non vuoto è necessario affinché \( f \) abbia zeri in \( [a, b] \)?»
Allora la risposta è no, perché se consideri la funzione \( f \) definita da \( f(x) = x^2 \) in \( [-1, 1] \), questa ha uno zero in \( [-1, 1] \) nonostante sia \( E = \emptyset \).
Inoltre tale condizione non è neanche sufficiente, se pensi alla funzione \( g \) definita da \( g(x) = \text{sgn}\, x \) in \( [-2, -1] \): in tal caso \( E = [-2, -1] \), eppure \( g \) non ha ivi zeri.
La questione è semplice. Immagino tu ti riferisca a questo enunciato del teorema di Bolzano:
Il teorema di Bolzano può essere enunciato anche in questo modo:
Se infatti \(f(a) \cdot f(b) = 0\), allora necessariamente \(f\) si annulla in almeno uno dei due estremi dell'intervallo, dunque hai finito. Ti rimane quindi da dimostrare il teorema nella prima versione citata, cioè nel caso \(f(a) \cdot f(b) < 0\). E' chiaro che, in tal caso, l'insieme \(E\) è non vuoto.
Sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione continua tale che \(f(a) \cdot f(b) < 0\). Allora esiste \(c\in (a,b)\) tale che \(f(c) = 0\).
Il teorema di Bolzano può essere enunciato anche in questo modo:
Sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione continua tale che \(f(a) \cdot f(b)\leq 0\). Allora esiste \(c\in [a,b]\) tale che \(f(c) = 0\).
Se infatti \(f(a) \cdot f(b) = 0\), allora necessariamente \(f\) si annulla in almeno uno dei due estremi dell'intervallo, dunque hai finito. Ti rimane quindi da dimostrare il teorema nella prima versione citata, cioè nel caso \(f(a) \cdot f(b) < 0\). E' chiaro che, in tal caso, l'insieme \(E\) è non vuoto.
Grazie mille a TUTTI!!! =) siete stati chiarissimi!! Ho capito tutto
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