Teorema di Banach dell'operatore inverso sul Kolmogorov-Fomin
Ciao, amici! Mi sto scervellando fino all'emicrania (letteralmente) per capire la dimostrazione fornita dagli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin del teorema di Banach dell'operatore inverso. Nel passaggio di p. 230 che ho linkato* e che riporto qui sotto non riesco a vedere da dove deriva che $M_N$ è denso in $P_0$ a causa del fatto che $M_n$ è denso in $P$.
Io vedo solo la dimostrazione del fatto che \((P\cap M_n)-y_0 \subset P_0\) e che \((P\cap M_n)-y_0 \subset M_N\).
Naturalmente mi rendo conto che $P_0=P-y_0$ e quindi \(P_0\cap(M_n-y_0)=(P\cap M_n)-y_0 \subset M_N\), ma non riesco proprio a vedere come si abbia che \(P_0\subset[M_N]\) (con la notazione $[A]$ = chiusura topologica di $A$)...
La cosa che mi lascia più perplesso è che per dimostrare la densità di $P_0$ in $M_N$ mi aspetteri qualcosa come "sia $x\in P_0$... allora $x\in[M_N]$", mentre qui si pare da un \(z\in P\cap M_n\) tale che $z-y_0\in P_0$, mentre non mi pare che tutti gli $x\in P_0$ siano tali che $x+y_0\in P$... (nel seguito della dimostrazione, infatti, si cerca un $\lambda$ such that \(\alpha<\|\lambda y\|<\beta\), i.e. such that $\lambda y\in P_0$)
Qualcuno ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!
EDIT: Spero di aver risolto: ogni $z\in P_0$ è esprimibile come \(z'-y_0\) con \(z'\in P\), ma dalla densità di $M_n$ in $P$ e banalmente da $M_n\subset[M_n]$ segue che $P\cap M_n\subset [M_n]$, quindi per ogni punto $z\in P$ esiste una successione di elementi $z_n\in P\cap M_n$ tali che \(z_n\to z'\). Ma allora \(z_n-y_0\) è una successione in $P\cap M_N$ convergente a $z$, perciò ogni punto $z$ di $P$ è di aderenza per $M_N$.
*[size=85]p. 223 della trad. italiana pubblicata da Editori Riuniti, ma lì ho una certa impressione che ci sia un errore di stampa nella definizione di $N$, per quanto riguarda l'argomento di \([\cdot]\), funzione parte intera.[/size]
Io vedo solo la dimostrazione del fatto che \((P\cap M_n)-y_0 \subset P_0\) e che \((P\cap M_n)-y_0 \subset M_N\).
Naturalmente mi rendo conto che $P_0=P-y_0$ e quindi \(P_0\cap(M_n-y_0)=(P\cap M_n)-y_0 \subset M_N\), ma non riesco proprio a vedere come si abbia che \(P_0\subset[M_N]\) (con la notazione $[A]$ = chiusura topologica di $A$)...
La cosa che mi lascia più perplesso è che per dimostrare la densità di $P_0$ in $M_N$ mi aspetteri qualcosa come "sia $x\in P_0$... allora $x\in[M_N]$", mentre qui si pare da un \(z\in P\cap M_n\) tale che $z-y_0\in P_0$, mentre non mi pare che tutti gli $x\in P_0$ siano tali che $x+y_0\in P$... (nel seguito della dimostrazione, infatti, si cerca un $\lambda$ such that \(\alpha<\|\lambda y\|<\beta\), i.e. such that $\lambda y\in P_0$)
Qualcuno ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!
EDIT: Spero di aver risolto: ogni $z\in P_0$ è esprimibile come \(z'-y_0\) con \(z'\in P\), ma dalla densità di $M_n$ in $P$ e banalmente da $M_n\subset[M_n]$ segue che $P\cap M_n\subset [M_n]$, quindi per ogni punto $z\in P$ esiste una successione di elementi $z_n\in P\cap M_n$ tali che \(z_n\to z'\). Ma allora \(z_n-y_0\) è una successione in $P\cap M_N$ convergente a $z$, perciò ogni punto $z$ di $P$ è di aderenza per $M_N$.
*[size=85]p. 223 della trad. italiana pubblicata da Editori Riuniti, ma lì ho una certa impressione che ci sia un errore di stampa nella definizione di $N$, per quanto riguarda l'argomento di \([\cdot]\), funzione parte intera.[/size]
Risposte
Ogni promessa è debito...
Ho letto la pagina stampata sino alla definizione di \(\displaystyle P\) e mi son fermato. Il tuo edit è corretto; poi non ho letto altro!
Ho letto la pagina stampata sino alla definizione di \(\displaystyle P\) e mi son fermato. Il tuo edit è corretto; poi non ho letto altro!
$\infty$ grazie!!!
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