Teorema di Baire
Il teorema di Baire dice che in uno spazio metrico completo se [tex]\{A_n\}[/tex] è una successione di aperti densi, allora [tex]\bigcap_{n} A_n[/tex] è densa; equivalentemente se [tex]\{C_n\}[/tex] è una successione di chiusi privi di punti interni, allora [tex]\bigcup_{n} C_n[/tex] è priva di punti interni.
Il mio libro dice che il teorema di Baire si può anche formulare nel modo seguente: uno spazio metrico completo è di seconda categoria.
Questo fatto però non mi è chiaro. Un insieme si dice di seconda categoria se non è di prima categoria. Un insieme si dice di prima categoria se è uninione numerabile di insiemi rari (ovvero insiemi la cui chiusura è priva di punti interni). Non capisco però appieno il nesso con il teorema di Baire.
Il mio libro dice che il teorema di Baire si può anche formulare nel modo seguente: uno spazio metrico completo è di seconda categoria.
Questo fatto però non mi è chiaro. Un insieme si dice di seconda categoria se non è di prima categoria. Un insieme si dice di prima categoria se è uninione numerabile di insiemi rari (ovvero insiemi la cui chiusura è priva di punti interni). Non capisco però appieno il nesso con il teorema di Baire.
Risposte
Io la sapevo diversamente: uno spazio che verifichi le proprietà che dici (l'unione numerabile di chiusi a interno vuoto ha interno vuoto oppure quella duale con gli aperti) si dice spazio di Baire (o spazio con la proprietà di Baire);
con la definizione originaria in termini di prima e seconda categoria si ha che uno spazio topologico è di Baire se e solo se ogni suo aperto non vuoto è di seconda categoria (Munkres Topology, §48 pag. 295). Ma probabilmente sarà equivalente richiedere che sia di seconda categoria solo l'intero spazio, francamente non ci ho mai riflettuto.
con la definizione originaria in termini di prima e seconda categoria si ha che uno spazio topologico è di Baire se e solo se ogni suo aperto non vuoto è di seconda categoria (Munkres Topology, §48 pag. 295). Ma probabilmente sarà equivalente richiedere che sia di seconda categoria solo l'intero spazio, francamente non ci ho mai riflettuto.
Perdonatemi se riesumo questo vecchio post, ma non mi pareva il caso di riaprirne uno nuovo.
Su Wikipedia leggo:
Ho cercato un po' tra i libri. Nel Munkres non mia pare di aver letto una cosa del genere, dice che uno spazio compatto di Hausdorff è uno spazio di Baire. Mi pare (non ricordo) che anche nel Singer & Thorpe ci sia lo stesso problema. Tra i riferimenti citati da Wikipedia non mi pare ci sia nulla di interessante, c'è un articolo da cui la pagina di Wikipedia è stata copiata pari pari. Qualcuno conosce questo risultato e sa darmi un riferimento?
Grazie. (non è solo una curiosità
mi semplificherebbe molto un problema)
Su Wikipedia leggo:
Every locally compact Hausdorff space is a Baire space.
Ho cercato un po' tra i libri. Nel Munkres non mia pare di aver letto una cosa del genere, dice che uno spazio compatto di Hausdorff è uno spazio di Baire. Mi pare (non ricordo) che anche nel Singer & Thorpe ci sia lo stesso problema. Tra i riferimenti citati da Wikipedia non mi pare ci sia nulla di interessante, c'è un articolo da cui la pagina di Wikipedia è stata copiata pari pari. Qualcuno conosce questo risultato e sa darmi un riferimento?
Grazie. (non è solo una curiosità
mi semplificherebbe molto un problema)
Sul libro di Kelley, a pagina 200, c'è questo risultato per spazi localmente compatti e regolari.
È perfetto, tanto uno spazio localmente compatto di Hausdorff è [tex]T_3[/tex] 
Grazie.
Grazie.
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