Teorema di Ascoli-Arzelà (Analisi Mat. 2)

[Navarone89]

Ciao a tutti =). Credo proprio di non aver capito bene le implicazioni pratiche di questo teorema.
Intanto per ricordare un pò a tutti di cosa stiamo parlando diamo 2 definizioni
1) La successione $(f_n)$ si dice equilimitata in $I$ intervallo chiuso e limitato se $EE M>0$ tale che $|f_n(x)|
2) Una tale successione si dice equicontinua se $AA \epsilon>0$ $EE \delta_(\epsilon)>0$ tale che $|x-y|<\delta_(\epsilon) \Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon$ $AA ninNN$

A questo punto diamo l' enunciato del teorema
Se $(f_n)$ è una successione di funzioni equilimitate ed equicontinue nell' intervallo chiuso e limitato $I=[a,b]$ allora essa ammette un ESTRATTA uniformemente convergente in $I$.

Domande
a) Cosa si intende esattamente con "un estratta uniformemente convergente in I"?
b) Se una successione $(f_n)$ rispetta tutte le ipotesi allora $f_n\to^uf$ oppure solo la sua "estratta"? Ed eventualmente come la posso determinare?
b) Se studiando una successione $(f_n)$ essa non è equilimitata ed $f_n\tof$ posso già dire con certezza che essa non converge uniformemente ad $f$ in $I$ ?

NOTE
con $f_n\to^uf$ intendo che $(f_n)$ converge uniformemente ad $f$ in $I$
con $f_n\tof$ intendo che $(f_n)$ converge puntualmente ad $f$ in $I$

Grazie in anticipo a chiunque risponderà.

[Raptorista1]

a) "Esattamente quello che c'è scritto": esiste una certa successione di [alcuni ma non tutti] elementi di \(f_n\), che possiamo chiamare \(\tilde f_k = f_{n_k} = f(n(k)) = f \circ n\). Una successione è una funzione \(f : \mathbb N \to \mathbb R\); una sottosuccessione è una composizione di \(f\) con un'altra funzione \(n = n(k) = n_k : \mathbb N \to \mathbb N\).

b) Solamente l'estratta converge. Ci sono controesempi alla tua affermazione, banalmente \(f_n = (-1)^n\).

c) Non inventarti teoremi inversi!

[Luca.Lussardi]

E' curioso il fatto che hai chiesto quali fossero le implicazioni pratiche del teorema di AA e invece poi hai fatto solo domande puramente tecniche. Volendo rispondere alla questione originaria, il teorema di AA è il fondamentale risultato di compattezza in dimensione infinita, cioè un teorema che ti dice sotto quali condizioni una successione di funzioni ha estratta convergente, cosa che è di importanza capitale per l'analisi matematica di equazioni alle derivate parziali o di altro tipo. I successivi th di compattezza, infatti, si appoggiano sostanzialmente a questo (per es negli $L^p$ via convoluzione).