Teorema di Abel
Cari ragazzi vorrei un vostro aiuto a riguardo delle ipotesi sul teorema di Abel circa le serie di potenza , dal momento che il mio testo di riferimento è un po' confusionario a riguardo . Da quanto son riuscito a carpire le ipotesi sono che la serie di partenza abbia raggio pari a $ l $ non nullo , la somma della serie renda una funzione $ f(x) $ continua in ogni intervallo del tipo $ (-l,l) $ e per cui la serie di termine generale $ a_n(l)^n $ converga . Dimentico qualcosa ? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione !
Risposte
"menale":
.. la somma della serie renda una funzione $ f(x) $ continua in ogni intervallo del tipo $ (-l,l) $ ..
A parte il fatto che se hai detto che $l$ è il raggio di convergenza l'intervallo $(-l,l)$ è uno solo, questa ipotesi non serve, infatti la puoi dedurre gratis dal fatto che è una serie di potenze e che il suo raggio di convergenza è $l$ (ti basta applicare il criterio sufficiente di Weierstrass e ricordarti che per ogni $n$ le somme parziali sono somme di funzioni continue -le potenze- e quindi continue).
Il teorema di Abel ti dice che data una serie di potenze con raggio di convergenza $l$ (facciamo che sia centrata nell'origine, ma se non lo fosse ti basta traslare il tutto), se essa converge anche in uno dei due punti di bordo $-l$ o $l$ allora la convergenza sarà uniforme rispettivamente su $[-l,l-epsilon]$ o $[-l+epsilon,l]$ per ogni $epsilon > 0$.
Ovviamente se converge in entrambi i punti di bordo la convergenza è uniforme su $[-l,l]$.
"Giuly19":
[quote="menale"].. la somma della serie renda una funzione $ f(x) $ continua in ogni intervallo del tipo $ (-l,l) $ ..
A parte il fatto che se hai detto che $l$ è il raggio di convergenza l'intervallo $(-l,l)$ è uno solo, questa ipotesi non serve, infatti la puoi dedurre gratis dal fatto che è una serie di potenze e che il suo raggio di convergenza è $l$ (ti basta applicare il criterio sufficiente di Weierstrass e ricordarti che per ogni $n$ le somme parziali sono somme di funzioni continue -le potenze- e quindi continue).
@giuly19Il teorema di Abel ti dice che data una serie di potenze con raggio di convergenza $l$ (facciamo che sia centrata nell'origine, ma se non lo fosse ti basta traslare il tutto), se essa converge anche in uno dei due punti di bordo $-l$ o $l$ allora la convergenza sarà uniforme rispettivamente su $[-l,l-epsilon]$ o $[-l+epsilon,l]$ per ogni $epsilon > 0$.
Ovviamente se converge in entrambi i punti di bordo la convergenza è uniforme su $[-l,l]$.[/quote]
Ho esplicato le ipotesi dettate dal mio testo . Ti ringrazio per la spiegazione .
Quindi con Abel otteniamo un metodo per capire come si comporti la serie in questione in corrispondenza dei punti di bordo . Mi domando se c'è un metodo per capire come si comporti la serie contemporaneamente su i due punti di bordo , ma credo non esista . Voi che ne dite ?
Dico che sembra quasi tu non abbia letto quello che ho scritto..
Menale intende contemporaneamente, giuly interessante ciò che hai detto,ma ho visto sul libro che in realtà esistono più teoremi di Abel,tu ti riferisci ad uno in particolare?
Anche se è morto giovane Abel penso proprio ne abbia dimostrato più di uno, ma quando si parla di serie di potenze in genere ci si riferisce a quello che ho scritto, cioè:
"Giuly19":
Il teorema di Abel ti dice che data una serie di potenze con raggio di convergenza $l$ (facciamo che sia centrata nell'origine, ma se non lo fosse ti basta traslare il tutto), se essa converge anche in uno dei due punti di bordo $-l$ o $l$ allora la convergenza sarà uniforme rispettivamente su $[-l,l-epsilon]$ o $[-l+epsilon,l]$ per ogni $epsilon > 0$.
Ovviamente se converge in entrambi i punti di bordo la convergenza è uniforme su $[-l,l]$.
Bene , Giuly19 , con te cadenzerò per ben benino le parole prima di poterne proferire delle altre 
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