Teorema derivabilità

[lorenzofranco24]

Ciao a tutti. Sugli appelli del mio corso di analisi matematica, nelle soluzioni agli esercizi di studio della derivabilità, trovo scritto testualmente:
Per vedere se f è derivabile in .... possiamo usare il teorema che ci dice che, se esiste il limite per $ x->x^0 $(da destra e da sinistra) di $ f'(x) $ , allora esiste anche il limite del rapporto incrementale di f(x) e quest'ultimo è uguale al precedente.
il mio dubbio nasce dal fatto che io so che il modo corretto di studiare la derivabilità è sempre quello che fa ricorso alla definizione di derivata e quindi al rapporto incrementale.
Il teorema a cui si riferisce il testo qual è?
Grazie

[Mephlip]

Se non ricordo male è un corollario del teorema di Lagrange (del valor medio).
Vedi qui: https://math.stackexchange.com/question ... ue-theorem
Quello che dici tu è giustissimo, solitamente quando ci sono problemi con le regole di derivazione la definizione (ossia il limite del rapporto incrementale) è la strada da intraprendere; però, sotto le ipotesi di questo corollario, puoi procedere in maniera più "diretta" calcolando un limite che solitamente è meno laborioso del limite del rapporto incrementale.

[gugo82]

"Drenthe24":Per vedere se f è derivabile in .... possiamo usare il teorema che ci dice che, se esiste il limite per $ x->x^0 $(da destra e da sinistra) di $ f'(x) $ , allora esiste anche il limite del rapporto incrementale di f(x) e quest'ultimo è uguale al precedente.

Il tutto funziona a patto che $f$ sia continua in $x_0$.

Infatti, la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} 0 &\text{, se } x \leq 0 \\ 1 &\text{, se } x > 0\end{cases}
\]
è derivabile ovunque ad eccezione di $0$, e però risulta:
\[
\lim_{x \to 0^\pm } f^\prime (x) = 0\; .
\]

[lorenzofranco24]

Quindi, se ho capito bene, posso valutare la funzione in un punto x^0, se in esso la funzione è continua potrò stabilire se è derivabile facendo il limite destro e sinistro della derivata di f in quel punto?
per esempio:
$ { ( (2+4x)/(2+x) x>=0 ),( (2-4x)/(2-x)x<0 ):} $
questa funzione è continua in X=0, quindi la derivabilità in 0 potrà essere verificata senza ricorrere al rapporto incrementale?

[lorenzofranco24]

Anche se non credo sia come ho detto. Ragionando: se la funzione non è continua in un punto, non sarà neanche derivabile in quello stesso punto. Di conseguenza per ogni punto in cui la funzione è continua potrei procedere con il limite della derivata!

[gugo82]

"Drenthe24":se la funzione non è continua in un punto, non sarà neanche derivabile in quello stesso punto.

Ovvio.

"Drenthe24":Di conseguenza per ogni punto in cui la funzione è continua potrei procedere con il limite della derivata!

Dopo aver verificato che la seguente funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\ \sin (\frac{1}{x}) &\text{, se } x > 0 \\ 0 &\text{, se } x\leq 0\end{cases}
\]
è continua in $0$, prova a fare il limite in $0$ della derivata. Cosa ottieni?

Cosa ottieni, invece, studiando la derivabilità di $f$ in $0$ con i rapporti incrementali?

Perchè succede questa cosa?

[lorenzofranco24]

Ad essere sincero,dopo aver visto che la funzione è continua in 0, non sono sicuro di aver calcolato correttamente il limite della derivata e il limite del rapporto incrementale. Entrambi non dovrebbero esistere
Comunque girando un pò ho trovato il teorema di Darboux, sembra sia questo il teorema che cercavo

[gugo82]

In realtà quello di rapporti incrementali esiste finito, mentre quello della derivata non esiste.

Per quanto riguarda il resto, il teorema di Darboux che conosco io non ha nulla a che fare con la questione qui sollevata (che si risolve applicando il teorema del Marchese).

[lorenzofranco24]

Con molto ritardo, ma vorrei tornare sull'argomento.
$ f(x)=(ln^2(x)-2)^(1/3) $
questa è la mia funzione.
$ f'(x)=(2lnx)/(3xroot(3)((ln^2x-2)^2) $ e questa la sua derivata prima.
L'esercizio mi chiede di calcolare gli eventuali punti di non derivabilità e procede così:
$ lim_(x -> e^(sqrt(2)+) )f'(x)=+oo $
$ lim_(x -> e^(sqrt(2)-) )f'(x)=+oo $ (vi risparmio i calcoli perché non è quello il punto di interesse)


usando il teorema che lega limite della derivata e limite del rapporto incrementale, deduciamo che
anche il limite (sia da destra che da sinistra) del rapporto incrementale di f(x) in $ e^sqrt2 $ è uguale a + $ oo $ .
Pertanto concludiamo che $ e^sqrt2 $ è un punto di flesso a tangente verticale.
qual è il teorema a cui si riferisce?
Calcolare il limite della derivata è molto più veloce che calcolare quello del rapporto incrementale in questo caso.