Teorema Dell'Unicità Del Limite Per Funzioni Definite Tra Spazi Topologici
Salve, premetto che non so se per questa domanda sia più appropriata questa sezione o quella di geometria, mi scuso se ho sbagliato. In breve, facendo a scuola alcuni teoremi sui limiti, mi sono chiesto fino a quando si potessero "indebolire le ipotesi" affinché i teoremi continuassero ad essere veri. Avevo pensato di trattare in diversi topic questi teoremi perché penso sia preferibile un topic per ogni teorema, tuttavia se ci sono problemi per favore ditemelo.
Arrivando all'argomento come è ben noto in $RR$ (con topologia euclidea) il limite di una funzione se esiste è unico, ora se io prendo una funzione $f: (X, \tau _1)->(Y, \tau _2)$ tra spazi topologici, non è detto che se il limite esiste esso sia anche unico, perché ciò sia vero serve anche che lo spazio $(Y, \tau_2)$ sia di Hausdorff, o almeno così credevo, però quando ho provato a dimostrarlo non ci sono riuscito e ho anche provato a ricercare la dimostrazione, ma su tutti i libri la dimostrazione era riportata solo nel caso in cui $f$ fosse una successione. Quindi ho provato a cambiare un po' le ipotesi e ho provato a dimostrare questo: "Sia $f: (X, \tau _1)->(Y, \tau _2)$ una funzione tra spazi topologici, sia $(Y, \tau_2)$ uno spazio di Hausdorff e sia $\tau_1$ una topologia in cui non sono presenti singoletti, allora se $ lim_(x->x_0) f(x) $ (con $x_0$ punto di accumulazione per $X$) esiste, il limite è unico."
Questa è la dimostrazione che ho tentato:
Non so se la dimostrazione sia corretta e quindi vorrei chiedervi se, gentilmente, potreste controllarla, inoltre vorrei chiedervi se c'è veramente bisogno della condizione sulla topologia del dominio oppure basta soltanto che il codominio sia di Hausdorff.
Arrivando all'argomento come è ben noto in $RR$ (con topologia euclidea) il limite di una funzione se esiste è unico, ora se io prendo una funzione $f: (X, \tau _1)->(Y, \tau _2)$ tra spazi topologici, non è detto che se il limite esiste esso sia anche unico, perché ciò sia vero serve anche che lo spazio $(Y, \tau_2)$ sia di Hausdorff, o almeno così credevo, però quando ho provato a dimostrarlo non ci sono riuscito e ho anche provato a ricercare la dimostrazione, ma su tutti i libri la dimostrazione era riportata solo nel caso in cui $f$ fosse una successione. Quindi ho provato a cambiare un po' le ipotesi e ho provato a dimostrare questo: "Sia $f: (X, \tau _1)->(Y, \tau _2)$ una funzione tra spazi topologici, sia $(Y, \tau_2)$ uno spazio di Hausdorff e sia $\tau_1$ una topologia in cui non sono presenti singoletti, allora se $ lim_(x->x_0) f(x) $ (con $x_0$ punto di accumulazione per $X$) esiste, il limite è unico."
Questa è la dimostrazione che ho tentato:
Non so se la dimostrazione sia corretta e quindi vorrei chiedervi se, gentilmente, potreste controllarla, inoltre vorrei chiedervi se c'è veramente bisogno della condizione sulla topologia del dominio oppure basta soltanto che il codominio sia di Hausdorff.
Risposte
La dimostrazione è scritta male.
Scelti due intorni $U_l, U_(l’)$ disgiunti, in corrispondenza di ognuno di essi troveresti $V_(x_0), V’_(x_0)$ tali che $ x in V_(x_0) nn X - \{x_0\} => f(x) in U_l$ e $x in V’_(x_0) nn X - \{x_0\} => f(x) in U_(l’)$; dunque dovrebbe essere $x in (V_(x_0) nn V’_(x_0)) nn X - \{x_0\} => f(x) in U_l nn U_(l’) = emptyset$, il che è assurdo!
Per il resto, sì, hai bisogno di una condizione di separazione tra intorni per l’unicità del limite.
Scelti due intorni $U_l, U_(l’)$ disgiunti, in corrispondenza di ognuno di essi troveresti $V_(x_0), V’_(x_0)$ tali che $ x in V_(x_0) nn X - \{x_0\} => f(x) in U_l$ e $x in V’_(x_0) nn X - \{x_0\} => f(x) in U_(l’)$; dunque dovrebbe essere $x in (V_(x_0) nn V’_(x_0)) nn X - \{x_0\} => f(x) in U_l nn U_(l’) = emptyset$, il che è assurdo!
Per il resto, sì, hai bisogno di una condizione di separazione tra intorni per l’unicità del limite.
Grazie per la risposta. Quini la condizione di separazione sul codominio serve per l'unicità, mentre quella condizione su $\tau_1$ per far sì che $(V_(x_0) \cap V'_(x_0)) \cap X -{x_0} != \emptyset$ è necessaria, oppure io posso sempre trovare due intorni di un punto che non abbiano in comune solo quel punto?
P.s: se non ti è troppo disturbo potresti dirmi il perché la definizione è scritta male? Ovviamente si nota il fatto che come l'hai scritta la dimostrazione si capisce molto meglio, però non capisco dove abbia sbagliato precisamente.
P.s: se non ti è troppo disturbo potresti dirmi il perché la definizione è scritta male? Ovviamente si nota il fatto che come l'hai scritta la dimostrazione si capisce molto meglio, però non capisco dove abbia sbagliato precisamente.
La condizione su $tau_1$ non ha alcun senso.
Tutto ciò che serve nel dominio per parlare di limite è la nozione di punto di accumulazione.
Inoltre, il passaggio brutto è quello in cui discetti del dominio della funzione (che è $X$, non vuoto per ipotesi): infatti, $(V_(x_0)nn V’_(x_0)) nn X - \{x_0\}$ è non vuoto per ipotesi.
Tutto ciò che serve nel dominio per parlare di limite è la nozione di punto di accumulazione.
Inoltre, il passaggio brutto è quello in cui discetti del dominio della funzione (che è $X$, non vuoto per ipotesi): infatti, $(V_(x_0)nn V’_(x_0)) nn X - \{x_0\}$ è non vuoto per ipotesi.
Grazie, mi ero proprio dimenticato che per definizione di punto di accumulazione $(V_(x_0) \cap V'_(x_0)) \cap X -{x_0})$ è sempre non vuoto e quindi per questo la condizione di $\tau_1$ perde il suo motivo d'essere e quindi l'ultimo passaggio risulta essere brutto perché essenzialmente si ribadisce qualcosa di ovvio ?
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