Teorema dell'invadenza dimostrazione mediante Beppo Levi
Non ho chiari alcuni passaggi nella dimostrazione di questo teorema.
Supponendo:
$E in R^n$ , $E in L$ $f:E->R$
$f in m$ , $f >=0$ ,$E_k in L$
$E_k in E_(k+1)$, $ U_(k=1 to +oo) E_k = E$
L'obiettivo è dimostrare che:
$int_E f(x)dx=lim_(k->oo) int_(E_k) f(x)dx$
ponendo $f_k=xi_(E_k) f$ e applicando il teorema di Beppo Levi è:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f_k dx=int_E lim_(k->oo)f_k dx$ (**nel teoremi di beppo levi lo scambio non è tra integrali definiti nello stesso dominio E??**)
da ciò segue sostituendo $f_k=xi_(E_k)f$
$lim_(k->oo) int_(E_k) fdx= int_E f dx$ (**questo effettuando la sostituzione non mi risulta**)
Supponendo:
$E in R^n$ , $E in L$ $f:E->R$
$f in m$ , $f >=0$ ,$E_k in L$
$E_k in E_(k+1)$, $ U_(k=1 to +oo) E_k = E$
L'obiettivo è dimostrare che:
$int_E f(x)dx=lim_(k->oo) int_(E_k) f(x)dx$
ponendo $f_k=xi_(E_k) f$ e applicando il teorema di Beppo Levi è:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f_k dx=int_E lim_(k->oo)f_k dx$ (**nel teoremi di beppo levi lo scambio non è tra integrali definiti nello stesso dominio E??**)
da ciò segue sostituendo $f_k=xi_(E_k)f$
$lim_(k->oo) int_(E_k) fdx= int_E f dx$ (**questo effettuando la sostituzione non mi risulta**)
Risposte
nessun aiuto?
Non confondere i simboli \(\in\) e \(\subset\), è un errore piuttosto brutto da vedere. Comunque, è solo questione di sostituire gli integrali
\[\int_{E_k} f\, dx\quad \int_{E}f\, dx\]
con
\[\int_{\mathbb{R}^n} \chi_{E_k} f\, dx, \quad \int_{\mathbb{R}^n}\chi_E f\, dx,\]
dove \(\chi\) indica la funzione caratteristica (o indicatore) dell'insieme al pedice. Fatta questa osservazione la proposizione segue subito.
\[\int_{E_k} f\, dx\quad \int_{E}f\, dx\]
con
\[\int_{\mathbb{R}^n} \chi_{E_k} f\, dx, \quad \int_{\mathbb{R}^n}\chi_E f\, dx,\]
dove \(\chi\) indica la funzione caratteristica (o indicatore) dell'insieme al pedice. Fatta questa osservazione la proposizione segue subito.
grazie dissonance 
adesso ho capito!
per il simbolo non sapevo il comando e per pigrizia non ho guardato la tabella
adesso ho capito! per il simbolo non sapevo il comando e per pigrizia non ho guardato la tabella
Sai che non mi è proprio chiaro:
l'obiettivo è dimostrare che
$lim_(k->oo) int_(E_k) f dx=int_E f dx$
applicando il teorema di Beppo Levi, ponendo $f_k=f\chi_(E_k)$
ottengo:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f_k dx=int_E f_k dx$
=> $lim_(k->oo) int_(E_k) f\chi_(E_k) dx=int_E f\chi_(E) dx$
(la funzione caratteristica $\chi$ fa $1$ se calcolata per punti appartenenti all'insieme in questione fa $0$ fuori.)
Quindi a questo punto perché è immediato concludere che:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f dx=int_E f dx$
l'obiettivo è dimostrare che
$lim_(k->oo) int_(E_k) f dx=int_E f dx$
applicando il teorema di Beppo Levi, ponendo $f_k=f\chi_(E_k)$
ottengo:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f_k dx=int_E f_k dx$
=> $lim_(k->oo) int_(E_k) f\chi_(E_k) dx=int_E f\chi_(E) dx$
(la funzione caratteristica $\chi$ fa $1$ se calcolata per punti appartenenti all'insieme in questione fa $0$ fuori.)
Quindi a questo punto perché è immediato concludere che:
$lim_(k->oo) int_(E_k) f dx=int_E f dx$
Non ho capito come hai ragionato. Ma la cosa è totalmente ovvia: la successione \(\chi_{E_k}\) è crescente e siccome \(f \ge 0\) anche \(f \chi_k\) lo è. Inoltre \(\lim_{k \to \infty} f\chi_{E_k} = f\chi_{E}\). Quindi
\[\lim_{k \to \infty} \int f\chi_{E_k}\, dx= \int f \chi_E\, dx.\]
Questa è esattamente la tesi.
\[\lim_{k \to \infty} \int f\chi_{E_k}\, dx= \int f \chi_E\, dx.\]
Questa è esattamente la tesi.
perfetto perché scrivere
$ lim_(k->oo) int_(R^n) f \chi_(E_k) dx = int_(R^n) f \chi_(E) dx $
è identico a scrivere
$ lim_(k->oo) int_(E_k) f dx = int_(E) f dx $
giusto?
$ lim_(k->oo) int_(R^n) f \chi_(E_k) dx = int_(R^n) f \chi_(E) dx $
è identico a scrivere
$ lim_(k->oo) int_(E_k) f dx = int_(E) f dx $
giusto?
Si.
grazie per la tua pazienza
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