Teorema dell'indicatore logaritmico
Ho un dubbio su un'ipotesi del teorema, non vorrei dire assurdità...
Il teorema mi (ci) dice
"Sia $\gamma$ una curva regolare a tratti chiusa semplice in $CC$, sia $f$ meromorfa in $Int(\gamma)$ e olomorfa su $\gamma$,e $f(z)!= 0$ per ogni $z\in \gamma$.
Allora $\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}dz=Z-P$ dove $Z$ e $P$ sono rispettivamnte il numero di zeri e di poli di $f$ contati con la propria molteplicità."
Quello che mi stavo chiedendo è se l'opotesi che $f$ sia olomorfa su $gamma$ si possa sostituire con la sola continuità sul bordo. Il succo di questa ipotesi è quello di assicurare la continuità della derivata prima, in modo tale che il rapporto $(f')/(f)$ sia ancora una funzione meromorfa nell'interno della curva (cosa che otteniamo senza dover imporre questa condizione) e continua sul bordo (anzi ancora olomorfa se non sbaglio...), cosa che non mi pare vera se chiediamo solo la continuità al bordo.
Così facendo quando si va ad usare la formula integrale di Cauchy per il calcolo dei residui non ci sono problemi (Essendo che l'integrale sulla curva esterna è assicurato con $f$ continua sulla curva).
Questo dubbio mi è sorto perchè leggendo su vari libri (Complex Analysis di J. Back per esempio) questa ipotesi di olomorfia non viene citata...
Effettivamente se noi consideriamo una curva che non contiene poli o zeri di $f$ ed è contenuta strettamente nella curva originale $\gamma$ possiamo in qualche modo disinteressarci del vero comportamento al bordo, sorpassando in questo modo il problema. Se intraprendiamo tale strada, dobbiamo assicurarci di prendere un'altra curva su cui $f$ non si annulla, cosa che penso sia sempre possibile se si ragiona utilizzando il teorma degli zeri.
Voi cosa ne pensate?
Il teorema mi (ci) dice
"Sia $\gamma$ una curva regolare a tratti chiusa semplice in $CC$, sia $f$ meromorfa in $Int(\gamma)$ e olomorfa su $\gamma$,e $f(z)!= 0$ per ogni $z\in \gamma$.
Allora $\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}dz=Z-P$ dove $Z$ e $P$ sono rispettivamnte il numero di zeri e di poli di $f$ contati con la propria molteplicità."
Quello che mi stavo chiedendo è se l'opotesi che $f$ sia olomorfa su $gamma$ si possa sostituire con la sola continuità sul bordo. Il succo di questa ipotesi è quello di assicurare la continuità della derivata prima, in modo tale che il rapporto $(f')/(f)$ sia ancora una funzione meromorfa nell'interno della curva (cosa che otteniamo senza dover imporre questa condizione) e continua sul bordo (anzi ancora olomorfa se non sbaglio...), cosa che non mi pare vera se chiediamo solo la continuità al bordo.
Così facendo quando si va ad usare la formula integrale di Cauchy per il calcolo dei residui non ci sono problemi (Essendo che l'integrale sulla curva esterna è assicurato con $f$ continua sulla curva).
Questo dubbio mi è sorto perchè leggendo su vari libri (Complex Analysis di J. Back per esempio) questa ipotesi di olomorfia non viene citata...
Effettivamente se noi consideriamo una curva che non contiene poli o zeri di $f$ ed è contenuta strettamente nella curva originale $\gamma$ possiamo in qualche modo disinteressarci del vero comportamento al bordo, sorpassando in questo modo il problema. Se intraprendiamo tale strada, dobbiamo assicurarci di prendere un'altra curva su cui $f$ non si annulla, cosa che penso sia sempre possibile se si ragiona utilizzando il teorma degli zeri.
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