Teorema dell'indicatore logaritmico

[DoraDora1]

Ciao!
Ho un problema con il teorema "dell'indicatore logaritmico". Il mio enunciato è:

Sia K un compatto a bordo di $\CC$. Sia f una funzione meromorfa non costante su un aperto $A \supe K$ e sia $c\in \CC$. Supponiamo che su $\partial K$ non cadano poli di f nè zeri di f-c. Allora:
$1/(2\pi i)\int_{\partial K} \frac{f'(z)}{f(z)-c}dz=Z-P$
ove Z è la somma delle molteplicità degli zeri di f-c nell'interno di K e P è la somma delle molteplicità dei poli di f nell'interno di K.

Sapendo che f è meromorfa posso concludere che i poli sono in numero finito. Ma sugli zeri come concludo?
Se A fosse un dominio sarei a posto perchè se per assurdo avessi infiniti zeri nell'interno di K (limitato) allora uno di essi sarebbe di accumulazione e dal principio di prolungamento analitico potrei concludere che f sarebbe identicamente nulla.
Come faccio su un generico A aperto?

Grazie!

[gugo82]

Probabilmente serve tener presente che, sempre in virtù del Teorema d'identità delle funzioni analitiche (o del Principio di prolungamento, che è lo stesso), gli zeri di [tex]$f$[/tex] (se ce ne sono) si accumulano su [tex]$\partial A$[/tex].