Teorema dell'esistenza degli zeri
Salve ragazzi, sono ore che cerco di capire questo teorema...ma risulta per me essere davvero difficile 
C'è qualcuno che con un pò di buona volontà riesca a spiegarmelo più semplicemente? Magari con qualche esempio?
Ciò che in realtà mi rimane difficile capire è la definizione.
Per esempio, perchè {an} è non decrescente e {bn} è non crescente?
C'è qualcuno che con un pò di buona volontà riesca a spiegarmelo più semplicemente? Magari con qualche esempio?
Ciò che in realtà mi rimane difficile capire è la definizione.
Per esempio, perchè {an} è non decrescente e {bn} è non crescente?
Risposte
Chi sono $(a_n),(b_n)$?
E quale definizione non capisci? (Forse volevi dire enunciato?)
E quale definizione non capisci? (Forse volevi dire enunciato?)
"Gugo82":
Chi sono $(a_n),(b_n)$?
E quale definizione non capisci? (Forse volevi dire enunciato?)
$(a_n),(b_n)$ sono le due successioni che derivano da $(a_1),(b_1)$..$(a_2),(b_2)$...$(a_n),(b_n)$
Perdonami mi riferivo alla DIMOSTRAZIONE!
Comunque è da qui che cerco di capirla:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano
Tramite il metodo della bisezione. Anche dagli appunti della facoltà è spiegata attraverso tale metodo.
In quanto segue suppongo per comodità che $f(a)<0
Per quanto riguarda la monotonia di $(a_n),(b_n)$ essa è conseguenza della definizione stessa delle due successioni.
Infatti all'inizio hai:
$a_0=a$, $c_0=1/2(b+a)$ e $b_0=b$
con $a_0*; al primo passo poni:
$a_1:=\{(a_0, ", se " f(c_0)>0),(c_0, ", se " f(c_0)<0):} \quad $ e $\quad b_1:=\{(c_0, ", se " f(c_0)>0),(b_0, ", se " f(c_0)<0):}$
(lascio da parte il caso banale in cui $f(c_0)=0$, poiché non ci avrebbe senso costruire $a_1$); ora è evidente che $a_1>=a_0$, in quanto o $a_1=a_0>=a_0$ oppure $a_1=c_0>=a_0$ per quanto detto prima. Allo stesso modo si vede che $b_1<=b_0$ e pure che $a_1
$c_1= 1/2(b_1+a_1)$
di modo che $a_1
$a_2:=\{(a_1, ", se " f(c_1)>0),(c_1, ", se " f(c_1)<0):} \quad $ e $\quad b_2:=\{(c_1, ", se " f(c_1)>0),(b_1, ", se " f(c_1)<0):}$
(lasciando sempre da parte il caso banale $f(c_1)=0$); si vede che $a_2>=a_1$, poiché o è $a_2=a_1>=a_1$ oppure è $a_2=c_1>=a_1$ ed analogamente si prova che $b_2<=b_1$ e $a_2
Capisci da solo che lo schema si può iterare.
Supponiamo di aver fissato $a_n
$c_n=1/2(b_n+a_n)$
di modo che $a_n
$a_(n+1):=\{(a_n, ", se " f(c_n)>0),(c_n, ", se " f(c_n)<0):} \quad $ e $\quad b_(n+1) :=\{(c_n, ", se " f(c_n)>0),(b_n, ", se " f(c_n)<0):}$
(tralasciando il caso $f(c_n)=0$); in tal modo è facile constatare che $a_(n+1)>=a_n$, $b_(n+1)<=b_n$, $a_(n+1)
La relazione $lim_(n \to oo) b_n-a_n=0$ si spiega come segue.
All'inizio hai $b_0-a_0=b-a$.
Al primo passo l'intervallo $[a_1,b_1]$ è una delle due metà in cui $[a_0,b_0]=[a,b]$ è diviso dal punto medio $c_0$: quindi $b_1-a_1=1/2(b_0-a_0)=1/2(b-a)$.
Al secondo passo l'intervallo $[a_2,b_2]$ è una delle due metà in cui $[a_1,b_1]$ è diviso dal punto medio $c_1$: pertanto $b_2-a_2=1/2(b_1-a_1)=1/4(b_0-a_0)=1/4(b-a)$...
Iterando il ragionamento si riconosce che al passo $n$-esimo l'intervallo $[a_n,b_n]$ è una delle due metà in cui $[a_(n-1),b_(n-1)]$ è diviso dal punto medio $c_(n-1)$: perciò $b_n-a_n=1/2(b_(n-1)-a_(n-1))=\ldots=1/2^n(b_0-a_0)=1/2^n(b-a)$.
Quindi è $lim_(n\to oo) b_n-a_n=(b-a)lim_(n\to oo) 1/2^n=0$.
Questo dovrebbe essere tutto circa la costruzione delle due successioni.
Se serve altro posta pure.
Però ti consiglio vivamente di farti un disegno per capire il senso "profondo" della dimostrazione.
__________
* Geometricamente, $c_0$ è il punto medio di $[a_0,b_0]$, perciò il metodo si chiama "di bisezione"
Per quanto riguarda la monotonia di $(a_n),(b_n)$ essa è conseguenza della definizione stessa delle due successioni.
Infatti all'inizio hai:
$a_0=a$, $c_0=1/2(b+a)$ e $b_0=b$
con $a_0
$a_1:=\{(a_0, ", se " f(c_0)>0),(c_0, ", se " f(c_0)<0):} \quad $ e $\quad b_1:=\{(c_0, ", se " f(c_0)>0),(b_0, ", se " f(c_0)<0):}$
(lascio da parte il caso banale in cui $f(c_0)=0$, poiché non ci avrebbe senso costruire $a_1$); ora è evidente che $a_1>=a_0$, in quanto o $a_1=a_0>=a_0$ oppure $a_1=c_0>=a_0$ per quanto detto prima. Allo stesso modo si vede che $b_1<=b_0$ e pure che $a_1
$c_1= 1/2(b_1+a_1)$
di modo che $a_1
$a_2:=\{(a_1, ", se " f(c_1)>0),(c_1, ", se " f(c_1)<0):} \quad $ e $\quad b_2:=\{(c_1, ", se " f(c_1)>0),(b_1, ", se " f(c_1)<0):}$
(lasciando sempre da parte il caso banale $f(c_1)=0$); si vede che $a_2>=a_1$, poiché o è $a_2=a_1>=a_1$ oppure è $a_2=c_1>=a_1$ ed analogamente si prova che $b_2<=b_1$ e $a_2
Capisci da solo che lo schema si può iterare.
Supponiamo di aver fissato $a_n
$c_n=1/2(b_n+a_n)$
di modo che $a_n
$a_(n+1):=\{(a_n, ", se " f(c_n)>0),(c_n, ", se " f(c_n)<0):} \quad $ e $\quad b_(n+1) :=\{(c_n, ", se " f(c_n)>0),(b_n, ", se " f(c_n)<0):}$
(tralasciando il caso $f(c_n)=0$); in tal modo è facile constatare che $a_(n+1)>=a_n$, $b_(n+1)<=b_n$, $a_(n+1)
La relazione $lim_(n \to oo) b_n-a_n=0$ si spiega come segue.
All'inizio hai $b_0-a_0=b-a$.
Al primo passo l'intervallo $[a_1,b_1]$ è una delle due metà in cui $[a_0,b_0]=[a,b]$ è diviso dal punto medio $c_0$: quindi $b_1-a_1=1/2(b_0-a_0)=1/2(b-a)$.
Al secondo passo l'intervallo $[a_2,b_2]$ è una delle due metà in cui $[a_1,b_1]$ è diviso dal punto medio $c_1$: pertanto $b_2-a_2=1/2(b_1-a_1)=1/4(b_0-a_0)=1/4(b-a)$...
Iterando il ragionamento si riconosce che al passo $n$-esimo l'intervallo $[a_n,b_n]$ è una delle due metà in cui $[a_(n-1),b_(n-1)]$ è diviso dal punto medio $c_(n-1)$: perciò $b_n-a_n=1/2(b_(n-1)-a_(n-1))=\ldots=1/2^n(b_0-a_0)=1/2^n(b-a)$.
Quindi è $lim_(n\to oo) b_n-a_n=(b-a)lim_(n\to oo) 1/2^n=0$.
Questo dovrebbe essere tutto circa la costruzione delle due successioni.
Se serve altro posta pure.
Però ti consiglio vivamente di farti un disegno per capire il senso "profondo" della dimostrazione.
__________
* Geometricamente, $c_0$ è il punto medio di $[a_0,b_0]$, perciò il metodo si chiama "di bisezione"
Sei stato davvero molto gentile, e soprattuto molto chiaro!
Dunque alla fine la dimostrazione è meccanica. Si tratta di bisezionare numerevoli volte (n) [a,b] fino a quando non si trova $f(c) = 0$
Giusto?
Appunto volevo ancora chiederti, la dimostrazione per verificare $f(c) = 0$ come prosegue?
Dunque alla fine la dimostrazione è meccanica. Si tratta di bisezionare numerevoli volte (n) [a,b] fino a quando non si trova $f(c) = 0$
Giusto?
Appunto volevo ancora chiederti, la dimostrazione per verificare $f(c) = 0$ come prosegue?
"Gugo82":
Iterando il ragionamento si riconosce che al passo $n$-esimo l'intervallo $[a_n,b_n]$ è una delle due metà in cui $[a_(n-1),b_(n-1)]$ è diviso dal punto medio $c_(n-1)$: perciò $b_n-a_n=1/2(b_(n-1)-a_(n-1))=\ldots=1/2^n(b_0-a_0)=1/2^n(b-a)$.
Quindi è $lim_(n\to oo) b_n-a_n=(b-a)lim_(n\to oo) 1/2^n=0$.
Ah no...è per caso questo?
E' finita qui la dimostrazione?
"visind":
Sei stato davvero molto gentile, e soprattuto molto chiaro!
Grazie.
"visind":
Dunque alla fine la dimostrazione è meccanica. Si tratta di bisezionare numerevoli volte (n) [a,b] fino a quando non si trova $f(c) = 0$. Giusto?
Non proprio.
Innanzitutto non si dice "meccanica", ma iterativa: si esegue sempre lo stesso set di operazioni, lo stesso algoritmo se vuoi dire così, ed in tal modo o la dimostrazione termina in un numero finito di passi (questo accade solo se trovi un indice $nu$ per il quale risulta $f(c_nu)=0$; in questo caso basta scegliere $c=c_nu$) oppure la dimostrazione va conclusa con un passaggio al limite (e ciò accade, viceversa, se per ogni $n \in NN$ hai $f(c_n)!=0$).
"visind":
Appunto volevo ancora chiederti, la dimostrazione per verificare $f(c) = 0$ come prosegue?
Supponiamo che la dimostrazione non termini in un numero finito di passi.
In tal caso hai determinato tre successioni $(a_n),(b_n),(c_n)$ con le seguenti proprietà:
1) $AA n \in NN, a_n<=a_(n+1)
3) $AA n \in NN, f(a_n)<=0<=f(b_n)$.
Ora puoi concludere come segue.
Per il noto criterio di regolarità per le successioni monotone, le $(a_n),(b_n)$ sono regolari; dalla 1) segue immediatamente che per ogni $n \in NN$ è $a_n<=b_0$ e $a_0<=b_n$, cosicché $(a_n)$ è limitata superiormente e $(b_n)$ è limitata inferiormente; ne viene che $(a_n)$ converge (non può divergere a $+oo$) ed anche $(b_n)$ converge (non può divergere a $-oo$). Diciamo $alpha,beta$ i limiti di $(a_n)$ e $(b_n)$: per la monotonia si ha:
$AA n \in NN, a_n<=alpha<=beta<=b_n \quad => \quad 0<=beta-alpha<=b_n-a_n$
epperò passando al limite tutti e tre i membri dell'ultima disuguaglianza si trova:
$0<=beta-alpha<=0=lim_n b_n-a_n \quad => \quad beta=alpha$
cosicché $(a_n),(b_n)$ tendono entrambe allo stesso limite che, d'ora in avanti, denoteremo con $c$.
Evidentemente $c \in [a,b]$ ed inoltre si ha:
$AA n in NN, f(a_n)<0 \quad => \quad f(c)=lim_n f(a_n)<=0$ (per continuità di $f$)
$AA n in NN, f(b_n)>0 \quad => \quad f(c)=lim_n f(b_n)>=0$ (per continuità di $f$)
e confrontando le disuguaglianze riguardanti $f(c)$ troviamo facilmente $f(c)=0$.
Chiarissimo!
Un'altra cosa non mi è chiara.
$f(c)=lim_n f(a_n)<=0$ (per continuità di $f$)
$f(c)=lim_n f(b_n)>=0$ (per continuità di $f$)
Cosa intendi per il solo $lim_n f(a_n)$ e $lim_n f(b_n)$ ? $n$ non tende a nulla?
Un'altra cosa non mi è chiara.
$f(c)=lim_n f(a_n)<=0$ (per continuità di $f$)
$f(c)=lim_n f(b_n)>=0$ (per continuità di $f$)
Cosa intendi per il solo $lim_n f(a_n)$ e $lim_n f(b_n)$ ? $n$ non tende a nulla?
"visind":
Cosa intendi per il solo $lim_n f(a_n)$ e $lim_n f(b_n)$ ? $n$ non tende a nulla?
Visto che $n\in NN$ l'unica "cosa" cui $n$ può tendere è $oo$, quindi di solito (e specialmente quando non ci sono ambiguità) faccio a meno di specificarlo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo