Teorema delle immersioni e diffeomorfismo

[racnix]

Ciao, penso di non aver capito bene il teorema delle immersioni e/o la nozione di diffeomorfismo.

Per il teorema delle immersioni so che dato f: A$->RR^m$ con A$subeRR^n$, se n$<=$m, allora f è immersiva in $x_0$ se e solo se esiste un intorno aperto U$sub$A di $x_0$ tale che la restrizione di f ad U è un diffeomorfismo tra l'aperto U di $RR^n$ ed il sottoinsieme f(U)$subRR^m$

Ma perchè una funzione sia un diffeomorfismo il determinante della Jacobiana deve essere diverso da zero in ogni punto di U, cioè la jacobiana deve essere quadrata. Quindi come è possibile che il teorema valaga pure per n
Edit: Mi è chiaro graficamente il fatto che si possano indurre diffeomorfismi tra spazi di dimensioni diversa (ad esempio una porzione di piano è diffeomorfe ad una porzione di una qualunque superficie regolare immersa in uno spazio tridimensionale) ma non lo comprendo analiticamente

[Werner1]

Non solo un esperto dell'argomento, però se non sbaglio affinchè \(f\) sia un diffeomorfismo basta che sia un morfismo differenziabile e invertibile, con inversa differenziabile. In generale quindi penso basti che lo jacobiano abbia rango massimo e non per forza che abbia un determinante non nullo, e che quindi sia una matrice quadrata.
Io penso al caso della sfera \(S_2\) immersa in \(\mathbb{R}^3\), qui il tuo sottoinsime \(U\) è tutta la sfera meno un meridiano, con la solita mappa \(f(\theta,\phi)=(\cos(\phi)\sin(\theta),\sin(\phi)\sin(\theta),cos(\theta))\), lo jacobiano è una matrice \(3 \times 2\) che ha rango \(2\) ovunque tranne quando la valuto ai poli. Inoltre la mappa è invertibile e si ha \(f^{-1}(x,y,z)=(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z})\), anche qui lo jacobiano è una matrice \(2 \times 3\) ed è di rango massimo ovunque tranne che ai poli.

[racnix]

Immaginavo che fosse questa la risposta, solo che le mie dispense di analisi dicono che una funzione differenziabile è diffeomorfismo locale in un punto se e solo è sia immersiva che sommersiva in quel punto (ciò discende dal Teorema della funzione inversa e quindi dim(Dominio)=dim(Codominio)). Com'è possibile?

[Werner1]

Se, e dico se, si provasse a "comporre" le due mappe così da creare una mappa \(F(\theta,\phi)\rightarrow(x(\theta,\phi),y(\theta,\phi))\), allora hai una mappa tra un aperto della sfera in un aperto della stessa sfera, se però consideri la seconda come un'altra sfera allora hai un diffeomorfismo locale tra sfere. \(F\) è \(f\) dove il codominio è stato ristretto solo a alla immagine della sfera in \(\mathbb{R}^3\), ora hai una mappa tra varietà con la stessa dimensione