Teorema delle funzioni implicite
Ciao a tutti, avrei bisogno di una spiegazione dell'enunciato del teorema delle funzioni implicite, poichè ho provato in tutti i modi a capirlo da solo ma con scarsi risultati.
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Risposte
ciao e benvenuto nel forum. 
ti faccio il caso in due variabili. il tutto comunque è generalizzabile.
Consideriamo una funzione F(x,y)=0. Il teorema afferma che sotto determinate ipotesi è possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.
le due ipotesi che deve soddisfare sono: dato un punto $ (x_0,y_0) $ la funzione F calcolata nel punto deve essere nulla ( $ F(x_0,y_0)=0 $ ). inoltre $ (partial F)/(partial y)(x_0,y_0)!=0 $ (se si vuole esplicitare la y in funzione della x).
se si verificano le due condizioni allora si riescono a trovare due intorni (U, V) rispettivamente di $x_0$ e $y_0$ per cui esiste un'unica funzione $ f: U->V $ tale che F(x,y)=0 e con $ f(x_0)=y_0 $ .
come bonus aggiuntivo fornisce poi il valore della derivata prima della funzione implicita.
per cui data F ed un punto, verifichi le ipotesi e se soddisfatte puoi affermare che la funzione implicita esiste ed è unica.
ti faccio il caso in due variabili. il tutto comunque è generalizzabile.
Consideriamo una funzione F(x,y)=0. Il teorema afferma che sotto determinate ipotesi è possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.
le due ipotesi che deve soddisfare sono: dato un punto $ (x_0,y_0) $ la funzione F calcolata nel punto deve essere nulla ( $ F(x_0,y_0)=0 $ ). inoltre $ (partial F)/(partial y)(x_0,y_0)!=0 $ (se si vuole esplicitare la y in funzione della x).
se si verificano le due condizioni allora si riescono a trovare due intorni (U, V) rispettivamente di $x_0$ e $y_0$ per cui esiste un'unica funzione $ f: U->V $ tale che F(x,y)=0 e con $ f(x_0)=y_0 $ .
come bonus aggiuntivo fornisce poi il valore della derivata prima della funzione implicita.
per cui data F ed un punto, verifichi le ipotesi e se soddisfatte puoi affermare che la funzione implicita esiste ed è unica.
Grazie della risposta.
Ho solo un dubbio...Come faccio a dedurre che tale funzione implicita se esiste è unica.
Ho solo un dubbio...Come faccio a dedurre che tale funzione implicita se esiste è unica.
per la seconda condizione abbiamo che $F_y!=0$. per cui è strettamente monotona(crescente o descrescente).
supponiamo la F crescente. Per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno del tipo \( (x0−ρ, x0+ρ)×(y0−b, y0+b) \) $rho,b > 0$ in cui $F_y$ rimarrà di segno strettamente positivo. Dal momento che $F(x0, y0) = 0$ e la funzione è crescente in y avremo che $F(x0, y0 + b) > 0$ e $F(x0, y0 − b) < 0$ e questo vale $ AAx in (x_0-a, x_0+a) $. a questo punto per il teorema degli zeri applicato alla funzione F pensata come funzione della sola y, allora la funzione si annulla in quel punto. l'unicità deriva dalla stretta monotonia (e quindi dall'invertibilità).
il tutto a mio avviso lo capisci molto meglio quando fai uno studio globale delle funzioni implicite (quindi non puoi applicare il Dini) perchè per dimostrare che la funzione implicita esiste ed è unica segui questo procedimento. ovvero calcoli il limite di $F(x_0, y), x_0$ fissato per $y-> +- oo$. se i due limiti hanno segno opposto e se la funzione è continua allora per il teorema degli zeri concludi che la funzione si annulla da qualche parte, ovvero F(x,y)=0. poi calcoli $F_y$ e mostri la stretta monotonia da cui concludi l'unicità.
supponiamo la F crescente. Per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno del tipo \( (x0−ρ, x0+ρ)×(y0−b, y0+b) \) $rho,b > 0$ in cui $F_y$ rimarrà di segno strettamente positivo. Dal momento che $F(x0, y0) = 0$ e la funzione è crescente in y avremo che $F(x0, y0 + b) > 0$ e $F(x0, y0 − b) < 0$ e questo vale $ AAx in (x_0-a, x_0+a) $. a questo punto per il teorema degli zeri applicato alla funzione F pensata come funzione della sola y, allora la funzione si annulla in quel punto. l'unicità deriva dalla stretta monotonia (e quindi dall'invertibilità).
il tutto a mio avviso lo capisci molto meglio quando fai uno studio globale delle funzioni implicite (quindi non puoi applicare il Dini) perchè per dimostrare che la funzione implicita esiste ed è unica segui questo procedimento. ovvero calcoli il limite di $F(x_0, y), x_0$ fissato per $y-> +- oo$. se i due limiti hanno segno opposto e se la funzione è continua allora per il teorema degli zeri concludi che la funzione si annulla da qualche parte, ovvero F(x,y)=0. poi calcoli $F_y$ e mostri la stretta monotonia da cui concludi l'unicità.
Vorrei sottolineare che in generale le funzioni implicite non sono uniche. Per esempio, se uno vuole scrivere \(y\) come funzione continua di \(x\) nell'equazione
\[
x^2=y^2, \]
uno trova quattro soluzioni:
\[
y(x)=x,\quad y(x)=-x,\quad y(x)=|x|,\quad y(x)=-|x|.\]
Difatti, in questa equazione non si può applicare il teorema della funzione implicita in nessun intorno del punto \((x, y)=(0,0)\).
\[
x^2=y^2, \]
uno trova quattro soluzioni:
\[
y(x)=x,\quad y(x)=-x,\quad y(x)=|x|,\quad y(x)=-|x|.\]
Difatti, in questa equazione non si può applicare il teorema della funzione implicita in nessun intorno del punto \((x, y)=(0,0)\).
in effetti non l'avevo mai precisato. il Dini è un teorema locale e non globale. grazie per la puntualizzazione 
.
.
Il teorema afferma che sotto determinate ipotesi è possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.
Questo non è vero, il teorema dice che sotto determinate ipotesi esiste una unica funzione $y=f(x)$, non è detto che sia possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.
non la puoi isolare esplicitamente in generale ma in pratica dice che puoi trovare una funzione che dipende unicamente dalle altre variabili. non si troverà la forma esatta della funzione ma si sa che c'è. eventualmente se ne può fare una stima con Taylor ed anche lì, in un certo senso sto esprimendo la y (o x) in funzione dell'altra variabile.
forse comunque "esplicitare" non il miglior termine da usare in effetti.
forse comunque "esplicitare" non il miglior termine da usare in effetti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo