Teorema delle contrazioni - controllo dimostrazione
Buona sera a tutti!
Come da oggetto, vi scrivo la mia dimostrazione del teorema delle contrazioni; vi chiedo solo di dirmi se è giusta oppure no.
Teorema. Sia \((X,d)\) uno spazio metrico completo, \(F : X \to X\) una contrazione.
Allora esiste unico un punto fisso per \(F\).
Dimostrazione.
Unicità. Siano \(x, y\) tali che \(x = F(x)\), \(y = F(y)\).
\[
d(x,y) = d(F(x),F(y)) = \le \rho \,\, d(x,y)
\]
da cui
\[
d(x,y) \le \rho d(x,y) \qquad \Rightarrow \qquad d(x,y)(1 - \rho) \le 0
\]
e quindi, siccome \(0<\rho<1\)
\[
d(x,y) \le 0
\]
ma, per gli assiomi di distanza, deve essere \(d(x,y)\ge 0\), quindi
\[
d(x,y)=0 \qquad \Rightarrow \qquad x=y
\]
Esistenza. Costruiamo la successione \(\lbrace x_n\rbrace\) definita da \(x_{n+1} = F(x_n)\). Si ottiene
\[
d(x_{n+1},x_n) = d(F(x_n), F(x_{n-1})) \le \rho \,\, d(x_n, x_{n-1}) \le \dots \le \rho^n \,\, d(x_1, x_0)
\]
A questo punto, siccome
\[
\lim_n \,\,\, \rho^n \,\, d(x_1, x_0) = 0
\]
per forza
\[
d(x_{n+1},x_n) \to 0
\]
cioè
\[
x_n - x_{n+1} \to 0
\]
e quindi la successione è fondamentale, ma è anche convergente siccome, per ipotesi, \((X,d)\) è completo.
Al limite,
\[
\lim_n \,\,\, x_n = \tilde{x} = F(\tilde{x})
\]
Dunque la successione \(\lbrace x_n \rbrace\) converge al punto fisso di \(F\). \(\square\)
Il motivo della mia richiesta è che il mio libro di testo [il magnifico Pagani Salsa] si dilunga di più nella seconda parte [la prima è identica] in una maniera che potrei anche evitare di memorizzare, se mi confermate che questa è giusta.
Vi ringrazio in anticipo, buona notte!
Come da oggetto, vi scrivo la mia dimostrazione del teorema delle contrazioni; vi chiedo solo di dirmi se è giusta oppure no.
Teorema. Sia \((X,d)\) uno spazio metrico completo, \(F : X \to X\) una contrazione.
Allora esiste unico un punto fisso per \(F\).
Dimostrazione.
Unicità. Siano \(x, y\) tali che \(x = F(x)\), \(y = F(y)\).
\[
d(x,y) = d(F(x),F(y)) = \le \rho \,\, d(x,y)
\]
da cui
\[
d(x,y) \le \rho d(x,y) \qquad \Rightarrow \qquad d(x,y)(1 - \rho) \le 0
\]
e quindi, siccome \(0<\rho<1\)
\[
d(x,y) \le 0
\]
ma, per gli assiomi di distanza, deve essere \(d(x,y)\ge 0\), quindi
\[
d(x,y)=0 \qquad \Rightarrow \qquad x=y
\]
Esistenza. Costruiamo la successione \(\lbrace x_n\rbrace\) definita da \(x_{n+1} = F(x_n)\). Si ottiene
\[
d(x_{n+1},x_n) = d(F(x_n), F(x_{n-1})) \le \rho \,\, d(x_n, x_{n-1}) \le \dots \le \rho^n \,\, d(x_1, x_0)
\]
A questo punto, siccome
\[
\lim_n \,\,\, \rho^n \,\, d(x_1, x_0) = 0
\]
per forza
\[
d(x_{n+1},x_n) \to 0
\]
cioè
\[
x_n - x_{n+1} \to 0
\]
e quindi la successione è fondamentale, ma è anche convergente siccome, per ipotesi, \((X,d)\) è completo.
Al limite,
\[
\lim_n \,\,\, x_n = \tilde{x} = F(\tilde{x})
\]
Dunque la successione \(\lbrace x_n \rbrace\) converge al punto fisso di \(F\). \(\square\)
Il motivo della mia richiesta è che il mio libro di testo [il magnifico Pagani Salsa] si dilunga di più nella seconda parte [la prima è identica] in una maniera che potrei anche evitare di memorizzare, se mi confermate che questa è giusta.
Vi ringrazio in anticipo, buona notte!
Risposte
"Raptorista":
...
cioè
\[
x_n - x_{n+1} \to 0
\]
e quindi la successione è fondamentale
NO
Se questa dim funzionasse, proveresti che la serie armonica converge.
Infatti la differenza tra la ridotta n-esima e la (n-1)-esima è proprio 1/n e quindi va a zero...
Buona notte (o buongiorno?) anche a te
Mmm, vediamo se ho capito dove si trova il baco.
Sul mio libro di analisi leggo
Definizione Sia \((X,d)\) uno spazio metrico e \(\lbrace x_n \rbrace\) una successione a valori in \(X\). Se succede che
\[
\lim_{n, m \to +\infty} d(x_n,x_m) = 0
\]
allora la successione si dirà fondamentale.
Quindi mi sembra di capire che il mio errore nella dimostrazione sia di considerare solo la distanza tra due elementi successivi, mentre dovrei considerare la distanza tra due generici elementi di \((X,d)\), che poi è esattamente quello che fa il mio libro nella sua dimostrazione.
È giusto?
Sul mio libro di analisi leggo
Definizione Sia \((X,d)\) uno spazio metrico e \(\lbrace x_n \rbrace\) una successione a valori in \(X\). Se succede che
\[
\lim_{n, m \to +\infty} d(x_n,x_m) = 0
\]
allora la successione si dirà fondamentale.
Quindi mi sembra di capire che il mio errore nella dimostrazione sia di considerare solo la distanza tra due elementi successivi, mentre dovrei considerare la distanza tra due generici elementi di \((X,d)\), che poi è esattamente quello che fa il mio libro nella sua dimostrazione.
È giusto?
"Raptorista":
Quindi mi sembra di capire che il mio errore nella dimostrazione sia di considerare solo la distanza tra due elementi successivi, mentre dovrei considerare la distanza tra due generici elementi di \((X,d)\), che poi è esattamente quello che fa il mio libro nella sua dimostrazione.
È giusto?
Esatto, l'errore è questo.
E' un errore comune. Ti invito a studiarti bene cosa succede nel caso della serie armonica, intendo "toccare con mano" la caratteristica del fenomeno. Puoi anche dare un'occhiata alla dim standard della non convergenza della serie, quella basata sul fatto che la somma di un numero sufficiente di termini è maggiore o uguale di una costante prefissata.
Ad esempio:
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n è appunto maggiore o uguale di 1/4
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