Teorema delle contrazioni applicato al problema di Cauchy
'giorno, avrei bisogno di un chiarimento sul Teorema delle contrazioni applicato al problema di Cauchy.
Nel dimostrare che, sotto precise ipotesi, esiste unica la soluzione ad un problema di cauchy dato, si sfrutta il teorema delle contrazioni che afferma l'esistenza di un unico punto fisso per la contrazione F.
Penso di aver capito bene questo secondo teorema (e vorrei approfondirlo perchè mi intriga), ma non capisco bene il modo in cui viene applicato nella dimostrazione dell'unicità della soluzione.
Mi riferisco alla prima dimostrazione che viene anche riportata qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _di_Cauchy (e non alla dimostrazione di Picard-Lindelöf).
Nella dimostrazione si definisce (cito da wikipedia) l'operatore F:\(\displaystyle B \to B \) tale che F(y) =\(\displaystyle \widehat{y} \), dove
\[\displaystyle
\widehat{y} = y_0 + \int_{x_0}^x f (t,y(t))\mathrm{d}t \]
Non capisco perchè dimostrando che esiste un unico punto fisso, si concluda che la soluzione del problema di cauchy è unica. (il tutto sotto condizioni che evito di riportare per non appresantire il post, ma che diamo per note).
A costo di scrivere qualche bestemmia matematica, tento di essere più chiaro. Quando in un esercizio si incontrano delle funzioni che non rispettano la condizione di lipschitz, non si ottiene un'unica soluzione. Nella dimostrazione di unicità, dopo il passaggio riportato qui sopra, ci si riconduce alla condizione di lipschitz su f per garantire l'unicità. Qui il dubbio: la F(y) assume come valori tutte le possibili soluzioni del problema di cauchy? E quindi con la condizione di lipschitz si riesce invece a limitare ad uno solo il valore assunto in un intorno?
So che c'è tantissima confusione e ringrazio da subito chi mi darà una mano. Una volta capito questo potrò affrontare esercizi e magari approfondire, ma ora come ora non me la sento di sfruttare risultati di dimostrazioni che non capisco.
Grazie ancora
Nel dimostrare che, sotto precise ipotesi, esiste unica la soluzione ad un problema di cauchy dato, si sfrutta il teorema delle contrazioni che afferma l'esistenza di un unico punto fisso per la contrazione F.
Penso di aver capito bene questo secondo teorema (e vorrei approfondirlo perchè mi intriga), ma non capisco bene il modo in cui viene applicato nella dimostrazione dell'unicità della soluzione.
Mi riferisco alla prima dimostrazione che viene anche riportata qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _di_Cauchy (e non alla dimostrazione di Picard-Lindelöf).
Nella dimostrazione si definisce (cito da wikipedia) l'operatore F:\(\displaystyle B \to B \) tale che F(y) =\(\displaystyle \widehat{y} \), dove
\[\displaystyle
\widehat{y} = y_0 + \int_{x_0}^x f (t,y(t))\mathrm{d}t \]
Non capisco perchè dimostrando che esiste un unico punto fisso, si concluda che la soluzione del problema di cauchy è unica. (il tutto sotto condizioni che evito di riportare per non appresantire il post, ma che diamo per note).
A costo di scrivere qualche bestemmia matematica, tento di essere più chiaro. Quando in un esercizio si incontrano delle funzioni che non rispettano la condizione di lipschitz, non si ottiene un'unica soluzione. Nella dimostrazione di unicità, dopo il passaggio riportato qui sopra, ci si riconduce alla condizione di lipschitz su f per garantire l'unicità. Qui il dubbio: la F(y) assume come valori tutte le possibili soluzioni del problema di cauchy? E quindi con la condizione di lipschitz si riesce invece a limitare ad uno solo il valore assunto in un intorno?
So che c'è tantissima confusione e ringrazio da subito chi mi darà una mano. Una volta capito questo potrò affrontare esercizi e magari approfondire, ma ora come ora non me la sento di sfruttare risultati di dimostrazioni che non capisco.
Grazie ancora
Risposte
Si riduce tutto alla seguente osservazione:
il problema differenziale
\[\begin{cases} y'=f(x, y) \\ y(x_0)=y_0\end{cases} \]
è equivalente al problema integrale
\[\tag{1} y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t, y(t))\, dt.\]
Possiamo quindi formulare un teorema di esistenza e unicità passando da quest'ultima versione del problema. Scrivendo formalmente \(F(y)=\text{membro destro della 1}\), osserviamo che ci siamo ricondotti ad un problema di ricerca di punti fissi \(y=F(y)\). Resta da trovare una buona definizione di \(F\): specialmente, occorre specificare bene il suo insieme di definizione. Fatto questo occorrerà mostrare che \(F\) è una contrazione, il che, per il teorema di punto fisso, significa che l'equazione \(y=F(y)\) ha una e una sola soluzione.
il problema differenziale
\[\begin{cases} y'=f(x, y) \\ y(x_0)=y_0\end{cases} \]
è equivalente al problema integrale
\[\tag{1} y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t, y(t))\, dt.\]
Possiamo quindi formulare un teorema di esistenza e unicità passando da quest'ultima versione del problema. Scrivendo formalmente \(F(y)=\text{membro destro della 1}\), osserviamo che ci siamo ricondotti ad un problema di ricerca di punti fissi \(y=F(y)\). Resta da trovare una buona definizione di \(F\): specialmente, occorre specificare bene il suo insieme di definizione. Fatto questo occorrerà mostrare che \(F\) è una contrazione, il che, per il teorema di punto fisso, significa che l'equazione \(y=F(y)\) ha una e una sola soluzione.
"Mattz":
Nella dimostrazione si definisce (cito da wikipedia) l'operatore F:\(\displaystyle B \to B \) tale che F(y) =\(\displaystyle \widehat{y} \), dove
\[\displaystyle
\widehat{y} = y_0 + \int_{x_0}^x f (t,y(t))\mathrm{d}t \]
Non capisco perchè dimostrando che esiste un unico punto fisso, si concluda che la soluzione del problema di cauchy è unica.
Prova a dare un'occhiata a questo mio vecchio post: dovrebbe chiarire il punto che ti è oscuro. Come leggerai, comunque, non è immediato quello che chiedi: cioè, c'è un teorema che ti garantisce che i punti fissi dell'operatore integrale sono soluzioni del problema di Cauchy. A quel punto, se l'operatore è una contrazione di uno spazio metrico completo in sé, applichi il teorema di Banach-Caccioppoli (delle contrazioni, appunto) e sei a posto: esiste unico un punto fisso. Tradotto: esiste unica la soluzione (locale) del problema.
"Mattz":
A costo di scrivere qualche bestemmia matematica, tento di essere più chiaro. Quando in un esercizio si incontrano delle funzioni che non rispettano la condizione di lipschitz, non si ottiene un'unica soluzione. Nella dimostrazione di unicità, dopo il passaggio riportato qui sopra, ci si riconduce alla condizione di lipschitz su f per garantire l'unicità. Qui il dubbio: la F(y) assume come valori tutte le possibili soluzioni del problema di cauchy? E quindi con la condizione di lipschitz si riesce invece a limitare ad uno solo il valore assunto in un intorno?
Non ho capito bene quello che intendi. Comunque attento: nel teorema di esistenza e unicità locali non si richiede la lipschitzianità di $f$ bensì solo la locale lipschitzianità (cioè $f$ deve essere lipschitz su ogni compatto contenuto dentro l'aperto in cui si svolge tutto, con costante di Lipschitz eventualmente diversa a seconda del compatto).
Prova a leggere queste cose per bene sul tuo libro di teoria (consiglio il Pagani-Salsa, le tratta bene queste cose).
"Mattz":
Grazie ancora
Prego, figurati
EDIT: scusa, dissonance, non avevo visto il tuo post.
Grazie mille ad entrambi, mi avete chiarito un bel dubbio. Adesso posso proseguire 
ah, e grazie Paolo90 per il chiarimento sulla lipschitzianità: senza rendermene conto avevo scritto una gran bella cavolata
ah, e grazie Paolo90 per il chiarimento sulla lipschitzianità: senza rendermene conto avevo scritto una gran bella cavolata
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