Teorema delle contrazioni
qualcuno di voi lo conosce ? io ce l'ho sul libro ma è troppo incasinato come al solito...
per quanto ne so è una conseguenza del teorema dell'esistenza degli zeri...
mi potete, se vi va, farmi la dimostrazione in maniera che io la possa capire ?
grazie...
per quanto ne so è una conseguenza del teorema dell'esistenza degli zeri...
mi potete, se vi va, farmi la dimostrazione in maniera che io la possa capire ?
grazie...
Risposte
Non mi pare che il Teorema delle contrazioni sia una conseguenza del Teorema di esistenza degli zeri. Comunque sta di fatto che e' un risultato di grossa portata: e' lo strumento con il quale dimostri il Teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy; inoltre e' il primo facile Teorema di punto fisso dell'Analisi non lineare: Una contrazione f in uno spazio metrico completo ha uno ed un solo punto fisso.
La dimostrazione non e' breve, ma e' facile: basta considerare la successione definita per ricorrenza da
x_(n+1)=f(x_n)
Si dimostra che questa successione e' di Cauchy; allora converge.
La continuità di f garantisce che il limite di x_n e' un punto fisso per f; infine, la costante di Lipschitz <1 garantisce l'unicità della soluzione.
Se ti interessa la dimostrazione nel dettaglio, te la posso mandare come allegato file .pdf; non credo sia possibile scriverla qui.
Luca.
La dimostrazione non e' breve, ma e' facile: basta considerare la successione definita per ricorrenza da
x_(n+1)=f(x_n)
Si dimostra che questa successione e' di Cauchy; allora converge.
La continuità di f garantisce che il limite di x_n e' un punto fisso per f; infine, la costante di Lipschitz <1 garantisce l'unicità della soluzione.
Se ti interessa la dimostrazione nel dettaglio, te la posso mandare come allegato file .pdf; non credo sia possibile scriverla qui.
Luca.
io non ho mai sentito il teorema delle contrazioni!! eppure abbiamo dimostrato il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale...
ah si mi faresti un grosso favore se me la mandassi... sempre che il pdf non sia molto grande...
mandamela a rocco.g@libero.it
grazie...
mandamela a rocco.g@libero.it
grazie...
Il teorema del punto fisso è legato anche al grande matematico Renato Caccioppoli
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Caccioppoli.html
sulla cui vita è stato tratto il bel film "Morte di un matematico napoletono".
Bye.
ps. dietro alle formule che tanto ci affascinano ci sono uomini in carne ed ossa la cui vita è stata spesso travagliata ...
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Caccioppoli.html
sulla cui vita è stato tratto il bel film "Morte di un matematico napoletono".
Bye.
ps. dietro alle formule che tanto ci affascinano ci sono uomini in carne ed ossa la cui vita è stata spesso travagliata ...
Scusami il ritardo. Stasera putroppo ho lezione fino alle 23 circa. Te lo mando domattina (devo ancora scriverlo...)
Ciao, scusa ancora, Luca.
Ciao, scusa ancora, Luca.
Anche a me servirebbe (magari entro lunedì che ho l'orale [:p])
tale dimostrazione inserita nel programma ma assente sul mio libro
grazie comunque!
(nino12@tiscali.it)
tale dimostrazione inserita nel programma ma assente sul mio libro
grazie comunque!
(nino12@tiscali.it)
Ho ricevuto il file ringrazio ancora!
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