Teorema delle contrazioni
Buongiorno,
in questi giorni ho studiato e dimostrato il teorema delle contrazioni o teorema del punto fisso o teorema di Banach-Caccioppoli.
E' tutto abbastanza chiaro, mi sfugge però la logica di un passaggio.
Parto scegliendo $x_m$ e $x_n$ tale che $m>n$ allora $d_X(x_m,x_n) \le ... \le K^n d_X(x_{m-n},x_0) \le … \le \frac{K^n}{1-K} d_X(x_1,x_0)$. A questo punto posso concludere che la mia successione così costruita è di Cauchy poiché $0
Se ho scritto troppo sinteticamente il tutto posso riscrivere la domanda riportando l'intera dimostrazione.
Ciao Alberto
in questi giorni ho studiato e dimostrato il teorema delle contrazioni o teorema del punto fisso o teorema di Banach-Caccioppoli.
E' tutto abbastanza chiaro, mi sfugge però la logica di un passaggio.
Parto scegliendo $x_m$ e $x_n$ tale che $m>n$ allora $d_X(x_m,x_n) \le ... \le K^n d_X(x_{m-n},x_0) \le … \le \frac{K^n}{1-K} d_X(x_1,x_0)$. A questo punto posso concludere che la mia successione così costruita è di Cauchy poiché $0
Se ho scritto troppo sinteticamente il tutto posso riscrivere la domanda riportando l'intera dimostrazione.
Ciao Alberto
Risposte
Il problema è nella tua interpretazione della definizione di successione di Cauchy. Tu non devi dimostrare che $d(x_m, x_n)$ "va a zero". Infatti, hai due indici, non uno solo, "va a zero" cosa significa? Rispetto a quale indice?
Tu devi dimostrare che per ogni epsilon esiste un numero $N$ tale che, per ogni $m, n \ge N$ si abbia $d(x_m, x_n)\le \epsilon$. Questo *non* segue da $d(x_m, x_n)\le K^n d(x_{m-n}, x_0)$. E' vero che puoi prendere $N$ tale che per ogni $n\ge N$ il termine $K^n$ sia piccolo a volontà. Ma come fai a controllare il parametro $m$? A priori, il termine $d(x_{m-n}, x_0)$ potrebbe essere qualsiasi cosa.
Non hai questo problema con
\[
d(x_m, x_n)\le \frac{K^n}{1-K} d(x_1, x_0).\]
Nota che a destra il parametro $m$ è sparito. Quindi, prendendo $N$ sufficientemente grande affinché $K^n$ sia piccolo per $n\ge N$, tutto il membro destro è piccolo *per qualsiasi valore di $m$*. E' questa la differenza.
Tu devi dimostrare che per ogni epsilon esiste un numero $N$ tale che, per ogni $m, n \ge N$ si abbia $d(x_m, x_n)\le \epsilon$. Questo *non* segue da $d(x_m, x_n)\le K^n d(x_{m-n}, x_0)$. E' vero che puoi prendere $N$ tale che per ogni $n\ge N$ il termine $K^n$ sia piccolo a volontà. Ma come fai a controllare il parametro $m$? A priori, il termine $d(x_{m-n}, x_0)$ potrebbe essere qualsiasi cosa.
Non hai questo problema con
\[
d(x_m, x_n)\le \frac{K^n}{1-K} d(x_1, x_0).\]
Nota che a destra il parametro $m$ è sparito. Quindi, prendendo $N$ sufficientemente grande affinché $K^n$ sia piccolo per $n\ge N$, tutto il membro destro è piccolo *per qualsiasi valore di $m$*. E' questa la differenza.
Innanzi tutto grazie per la risposta velocissima.
Continuo a non capire, perché il fatto che la mia successione è di Cauchy non deriva da: $d(x_m,x_n) \le K^n d(x_{m-n},x_0)$? Ho come premessa che $m>n$, quindi mi basta che $n>N$ e ovviamente sarà $m>N$ e ho dimostrato che $d(x_m,x_n)$ è maggiorato da un elemento che, per $n$ sufficientemente grande va a $0$. Non capisco cosa devo controllare del parametro $m$. Grazie, ciao Alberto
Continuo a non capire, perché il fatto che la mia successione è di Cauchy non deriva da: $d(x_m,x_n) \le K^n d(x_{m-n},x_0)$? Ho come premessa che $m>n$, quindi mi basta che $n>N$ e ovviamente sarà $m>N$ e ho dimostrato che $d(x_m,x_n)$ è maggiorato da un elemento che, per $n$ sufficientemente grande va a $0$. Non capisco cosa devo controllare del parametro $m$. Grazie, ciao Alberto
Per esempio, chi ti ha detto che \(d(x_{m-n}, x_0)\) non esplode quando \(m\to \infty\)?
Ok, ora è tutto chiaro. Grazie ancora. Alberto
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