Teorema delle contrazioni
Oggi la professoressa ha spiegato il teorema delle contrazioni, enunciandolo in tal guisa: Sia f:I -> I una funzione derivabile in I tale che |f'(x)|=
|u(n+1)-u(n)|=|f(u(n)-f(u(n-1))|=|f'(c)||u(n)-u(n-1)|=
Forse bisogna applicare il limite ai due membri della diseguaglianza |u(n+k)-u(n)|=<(L^n/(1-L))|u(1)-u(0)| ?
|u(n+1)-u(n)|=|f(u(n)-f(u(n-1))|=|f'(c)||u(n)-u(n-1)|=
Forse bisogna applicare il limite ai due membri della diseguaglianza |u(n+k)-u(n)|=<(L^n/(1-L))|u(1)-u(0)| ?
Risposte
Devi verificare la definizione di successione di Cauchy. Per ogni epsilon esiste N grande tale che ...blablabla... per ogni $n>N$ e per ogni $k\in NN$...blablabla... $|u(n+k)-u(n)|\le \epsilon$.
Tieni presente che puoi prendere un N grande tale che per ogni $n>N$ il termine $L^n$ è piccolo quanto vuoi, diciamo più piccolo di $\epsilon \frac{1-L}{|u(1)-u(0)|}$. E soprattutto, questo avviene indipendentemente da $k$.
Tieni presente che puoi prendere un N grande tale che per ogni $n>N$ il termine $L^n$ è piccolo quanto vuoi, diciamo più piccolo di $\epsilon \frac{1-L}{|u(1)-u(0)|}$. E soprattutto, questo avviene indipendentemente da $k$.
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