Teorema della permanenza del segno

[pierluigi.rinaldi01]

Salve, premetto che so il teorema e tutto, l'unica cosa che mi preme è sapere se riesco a dimostrare tale teorema nel giusto linguaggio matematico, dato che lascio troppo spazio all'intuizione e pochissimo, quasi niente, al formalismo matematico (questo sia nella teoria che nella pratica), un mio grande vizio a cui sto cercando disperatamente di rimediare xD

Ecco qui il teorema e come lo dimostro, ditemi se è corretto per favore, così da qui in poi cercherò di mantenere sano il formalismo stesso, ahaha, grazie!

Teorema: Permanenza del segno (limiti)
Se \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_o} =l \) con \(\displaystyle l>0 \), allora è definitivamente \(\displaystyle f(x) > 0 \) per\(\displaystyle x\rightarrow x_o \).

Dimostrazione:

Sia \(\displaystyle l \) finito e positivo.
Applichiamo, adesso, la definizione di limite, quindi:
Innanzitutto sia \(\displaystyle V \) un intorno di \(\displaystyle l \) del tipo \(\displaystyle (l-\epsilon, l+\epsilon) \), con \(\displaystyle 0<\epsilon 0 \).

Dalla definizione segue che \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_o} =l \) se \(\displaystyle \forall \epsilon \) fissato \(\displaystyle \exists \delta = \delta (\epsilon) \) tale che \(\displaystyle |f(x) -l| < \epsilon \) se \(\displaystyle 0<|x-x_o|< \delta \) e \(\displaystyle x \in X \).

Dove \(\displaystyle |f(x) -l| < \epsilon \) può essere scritto come \(\displaystyle l-\epsilon f(x) > l-\epsilon > 0 \), da qui concludiamo che \(\displaystyle f(x) > 0 \).

Scusate la stupidità della domanda, ma mi preme sapere se sia corretto o meno, grazie mille

[ciampax]

Corretto.

[pierluigi.rinaldi01]

finally, grazie mille