Teorema della media vettoriale?
Domanda esistenziale.
In giro (tra testi e pagine web) non ho trovato alcuna prova dell'esistenza del teorema della media nel caso di funzioni \( \mathbf{r} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n \); eppure mi sembra una cosa sensata il fatto che possa esistere una simile estensione.
L'idea sarebbe: sotto opportune ipotesi, esiste \( c \in [a,b] \) tale che
\[ \int_a^b \mathbf{r}\, (t)\, \text{d}t = (b-a)\, \mathbf{r}\, (c) \]
Qualcuno sa qualcosa a riguardo?
In giro (tra testi e pagine web) non ho trovato alcuna prova dell'esistenza del teorema della media nel caso di funzioni \( \mathbf{r} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n \); eppure mi sembra una cosa sensata il fatto che possa esistere una simile estensione.
L'idea sarebbe: sotto opportune ipotesi, esiste \( c \in [a,b] \) tale che
\[ \int_a^b \mathbf{r}\, (t)\, \text{d}t = (b-a)\, \mathbf{r}\, (c) \]
Qualcuno sa qualcosa a riguardo?
Risposte
In generale è falso, come puoi constatare prendendo \(r(t) = (\cos t, \sin t)\), \(t\in [0,2\pi]\).
Esistono tuttavia delle estensioni (delle quali, sinceramente, non si sentiva la mancanza). Puoi fare una ricerca su google con qualcosa del tipo "mean value theorem for vector valued functions".
Esistono tuttavia delle estensioni (delle quali, sinceramente, non si sentiva la mancanza). Puoi fare una ricerca su google con qualcosa del tipo "mean value theorem for vector valued functions".
Grazie Rigel.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo