Teorema della funzione implicita (spazi di Banach)

[asabasa]

In realtà la mia domanda non riguarda il teorema in sè, ma un passaggio che non mi è chiaro.
L'enunciato è nello spoiler.

Teorema 8.4.1 Siano $X, Y,Z$ spazi di Banach. Sia
$F :U ⊂X ×Y →Z$
una funzione definita in un aperto $U$ e $(x0 , y0 ) ∈ U$ tale che $F (x_0 , y_0 ) = 0$ .

Supponiamo che

a) $F$ sia continua in $U$ .

b) $∀(x, y) ∈ U$ esiste $∂_y F (x, y) ∈ L(Y, Z)$, continua in $U$ .

c) $∂y F (x_0 , y_0 ) ∈ GL(Y, Z)$.

Allora

• i) $EE r , δ > 0$, ed una unica funzione continua $f : Br (x_0 ) := x ∈ X | x − x_0 ≤ r → B_δ (y_0 ) ⊂ Y$
tale che $f (x_0 ) = y_0$ ed $F (x, f (x)) = 0$ .
Viceversa, per ogni soluzione $(x, y) ∈ B_r (x_0 ) × B_δ (y_0 )$ di $F (x, y) = 0$, si ha $y = f (x)$.

• ii) Se $F ∈ C_1 (U )$ allora $f (x)$ è derivabile in $dot(Br (x_0 ))$ e
$Dx f (x) = −[∂_y F (x, y)]^{−1} ∂_x F (x, y)$ dove $y = f (x)$ .

• iii) Infine, se $F ∈ C^k (U ), k ≥ 1$, allora $f ∈ C^k$ .

Scriviamo lo sviluppo di Taylor di punto iniziale $(x_0,y_0)$
$F(x,y)=F(x_0,y_0)+ ∂_y F (x_0, y_0)y +R(x,y)= Ay + R(x,y)$

dove $A=∂_y F (x_0, y_0)$ e $R(x,y)= F(x,y)-Ay$

Dunque $F(x,y)=0 Leftrightarrow y= - A^{-1} R(x,y)$

A questo punto voglio dimostrare il seguente lemma
Esistono $r, δ > 0$ tale che, $∀x ∈ B_r (0)$ l’operatore
$Φ(x, ·) := -A^{-1}( R(x, ·)$ è una contrazione in una palla $B_δ (0) := {y ∈ Y | y ≤ δ}$

cioè devo provare che:
1) $Φ(x, ·):B_δ (0)→B_δ (0)$
2) $Φ(x, y_2)-Φ(x, y_1)<=k||y_2-y_1||$

Dimostriamo la 2

$Φ(x, y_2)-Φ(x, y_1)||=||−A^{−1} R(x, y_2)+A−1 R(x, y_1)||=|| -A^{-1}(R(x, y_2)-R(x, y_1))||$
$<=||-A^{-1}|| ||R(x,y_2)-R(x,y_1)||$

Stimiamo $||R(x,y_2)-R(x,y_1)||$

Ed ecco il problema? perché si stima così?

$||R(x,y_2)-R(x,y_1)||<=max_{[y_1,y_2]}||partial_yR(x,y)|| ||y_2-y_1||$

[dissonance]

Fai finta che $y$ sia una variabile reale e che pure $R$ sia reale e dimostrati quella stima: lo puoi fare sia con il teorema del valor medio di Lagrange sia col teorema fondamentale del calcolo integrale. Negli spazi normati il teorema di Lagrange non vale più ma quello fondamentale del calcolo si. E quindi quella stima continua a valere, con la stessa dimostrazione.

[asabasa]

"dissonance":Fai finta che $y$ sia una variabile reale e che pure $R$ sia reale e dimostrati quella stima: lo puoi fare sia con il teorema del valor medio di Lagrange sia col teorema fondamentale del calcolo integrale. Negli spazi normati il teorema di Lagrange non vale più ma quello fondamentale del calcolo si. E quindi quella stima continua a valere, con la stessa dimostrazione.

Ora provo!
Grazie