Teorema della farfalla
Salve a tutti.
Come da titolo, vorrei discutere con voi del teorema della farfalla, in particolare vorrei delle delucidazioni sulla dimostrazione, che non ho trovato su nessun libro di analisi (fin'ora consultato). Ho seguito la discussione http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=30472&start=10
ma non ho ben capito la dimostrazione postata da ViciousGoblin.
Teorema: Sia $f: [a,+\infty)->RR$ uniformemente continua allora esistono $A$ e $B$ tali che $|f(x)|<= A+Bx$.
Partendo dalla definizione di uniforme continuità l'unico passo che sono riuscito a fare è questo:
$|f(x)|=|f(x)+f(y)-f(y)|<= |f(x)-f(y)|+|f(y)|< \epsilon + |f(y)|$ (1)
ora "dovrei" sfruttare qualche proprietà che mi sfugge, in modo da poter controllare $|f(y)|$ tramite la $x$. Anche qui guardando la definizione di uniforme continuità l'unica cosa che sono riuscito a fare è:
$|x-y|<\delta => x-\delta < y < x+\delta => f(y)
in questo modo da (1) posso dire $|f(x)|<\epsilon + |f(x+\delta)|$ (che me ne faccio?)
Domanda: c'è qualche proprietà che lega l'uniforma continuità alla convessità o monotonia?
Ditemi la vostra
Grazie
Come da titolo, vorrei discutere con voi del teorema della farfalla, in particolare vorrei delle delucidazioni sulla dimostrazione, che non ho trovato su nessun libro di analisi (fin'ora consultato). Ho seguito la discussione http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=30472&start=10
ma non ho ben capito la dimostrazione postata da ViciousGoblin.
Teorema: Sia $f: [a,+\infty)->RR$ uniformemente continua allora esistono $A$ e $B$ tali che $|f(x)|<= A+Bx$.
Partendo dalla definizione di uniforme continuità l'unico passo che sono riuscito a fare è questo:
$|f(x)|=|f(x)+f(y)-f(y)|<= |f(x)-f(y)|+|f(y)|< \epsilon + |f(y)|$ (1)
ora "dovrei" sfruttare qualche proprietà che mi sfugge, in modo da poter controllare $|f(y)|$ tramite la $x$. Anche qui guardando la definizione di uniforme continuità l'unica cosa che sono riuscito a fare è:
$|x-y|<\delta => x-\delta < y < x+\delta => f(y)
in questo modo da (1) posso dire $|f(x)|<\epsilon + |f(x+\delta)|$ (che me ne faccio?)
Domanda: c'è qualche proprietà che lega l'uniforma continuità alla convessità o monotonia?
Ditemi la vostra
Grazie
Risposte
Il punto sta nel fatto che puoi suddividere l'intervallo in un numero finito di intervalli, tutti minori di \(\delta\).
Uhmmm, tipo $[a,+\infty) = [a,b) uu [b,c) uu [c,+\infty)$?
e come uso questa cosa per dimostrare la disuguaglianza? vado a controllare la $f(x)$ in ogni intervallo con...?
e come uso questa cosa per dimostrare la disuguaglianza? vado a controllare la $f(x)$ in ogni intervallo con...?
Perché arrivi fino ad infinito?
Per comodità poniamo \(\displaystyle a = 0 \). A meno di traslare la funzione questo è sempre valido.
Prendi \(\displaystyle \varepsilon > 0 \). Per l'uniforme continuità esiste \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \lvert fx - fy \rvert \le \varepsilon \) se \(\displaystyle \lvert x - y\rvert \le \delta \). Siccome \(\displaystyle \delta > 0 \), per l'assioma di continuità di archimede esiste un \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle \delta (n+1) \ge x \) (posso inoltre supporre che \(\displaystyle n \) sia minimo). Esisterà quindi un \(\displaystyle \frac{n}{n+1} <\rho \le 1 \) tale che \(\displaystyle x = (n+1)\rho\delta > n\delta \).
Sia quindi \(\displaystyle x_0 = 0 = a \), \(\displaystyle x_n = x \) e \(\displaystyle x_i = i\rho\delta \) allora
\begin{align} \lvert fx - fa\rvert &= \lvert fx -fx_{n-1} + fx_{n-1} +\dotsc - fx_i + fx_i + \dotsc - fx_1 + fx_1 - fa\rvert \\
&\le \sum_{i=1}^n \lvert fx_{i} -fx_{i-1}\rvert \\
&\le (n+1)\varepsilon \\
&\le n\varepsilon + \varepsilon \\
&\le n\varepsilon\frac{\delta}{\delta} + \varepsilon \\
&\le n\delta\frac{\varepsilon}{\delta} + \varepsilon \\
&\le x\varepsilon\biggl(1 + \frac{1}{\delta}\biggr).
\end{align}
Per comodità poniamo \(\displaystyle a = 0 \). A meno di traslare la funzione questo è sempre valido.
Prendi \(\displaystyle \varepsilon > 0 \). Per l'uniforme continuità esiste \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \lvert fx - fy \rvert \le \varepsilon \) se \(\displaystyle \lvert x - y\rvert \le \delta \). Siccome \(\displaystyle \delta > 0 \), per l'assioma di continuità di archimede esiste un \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \) tale che \(\displaystyle \delta (n+1) \ge x \) (posso inoltre supporre che \(\displaystyle n \) sia minimo). Esisterà quindi un \(\displaystyle \frac{n}{n+1} <\rho \le 1 \) tale che \(\displaystyle x = (n+1)\rho\delta > n\delta \).
Sia quindi \(\displaystyle x_0 = 0 = a \), \(\displaystyle x_n = x \) e \(\displaystyle x_i = i\rho\delta \) allora
\begin{align} \lvert fx - fa\rvert &= \lvert fx -fx_{n-1} + fx_{n-1} +\dotsc - fx_i + fx_i + \dotsc - fx_1 + fx_1 - fa\rvert \\
&\le \sum_{i=1}^n \lvert fx_{i} -fx_{i-1}\rvert \\
&\le (n+1)\varepsilon \\
&\le n\varepsilon + \varepsilon \\
&\le n\varepsilon\frac{\delta}{\delta} + \varepsilon \\
&\le n\delta\frac{\varepsilon}{\delta} + \varepsilon \\
&\le x\varepsilon\biggl(1 + \frac{1}{\delta}\biggr).
\end{align}
Ok ora è tutto chiaro.
Grazie
Grazie
"vict85":
Perché arrivi fino ad infinito?
Per comodità poniamo \( \displaystyle a = 0 \). A meno di traslare la funzione questo è sempre valido.
Prendi \( \displaystyle \varepsilon > 0 \). Per l'uniforme continuità esiste \( \displaystyle \delta \) tale che \( \displaystyle \lvert fx - fy \rvert \le \varepsilon \) se \( \displaystyle \lvert x - y\rvert \le \delta \). Siccome \( \displaystyle \delta > 0 \), per l'assioma di continuità di archimede esiste un \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) tale che \( \displaystyle \delta (n+1) \ge x \) (posso inoltre supporre che \( \displaystyle n \) sia minimo). Esisterà quindi un \( \displaystyle \frac{n}{n+1} <\rho \le 1 \) tale che \( \displaystyle x = (n+1)\rho\delta > n\delta \).
Sia quindi \( \displaystyle x_0 = 0 = a \), \( \displaystyle x_n = x \) e \( \displaystyle x_i = i\rho\delta \) allora
\[ \begin{align} \lvert fx - fa\rvert &= \lvert fx -fx_{n-1} + fx_{n-1} +\dotsc - fx_i + fx_i + \dotsc - fx_1 + fx_1 - fa\rvert \\ &\le \sum_{i=1}^n \lvert fx_{i} -fx_{i-1}\rvert \\ &\le (n+1)\varepsilon \\ &\le n\varepsilon + \varepsilon \\ &\le n\varepsilon\frac{\delta}{\delta} + \varepsilon \\ &\le n\delta\frac{\varepsilon}{\delta} + \varepsilon \\ &\le x\varepsilon\biggl(1 + \frac{1}{\delta}\biggr). \end{align} \]
Salve, ripesco questa discussione di anni fa perché mi è capitato come esercizio in una "provetta d'esame" la dimostrazione del Teorema della Farfalla.
Ho seguito i ragionamenti ma non capisco come questo dimostri il teorema. Qualcuno potrebbe darmi ulteriori chiarimenti a riguardo?
Grazie
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