Teorema della divergenza parametrizzazione (Cilindro tagliato)
Dato il campo vettoriale su $RR^3$
$F(x,y,z)=(0,0,z)$
e il dominio di $RR^3$
$ D ={(x,y,z) in RR^3 : (x-1)^2+(y-1)^2<=1 , 0<=z<=y+2}$
verificare la validità del Teorema di Gauss in $RR^3$ per il campo F e il dominio D.
Disegno
Io avevo pensato di parametrizzare
$ {(x=rho cos theta +1 ),(y=rho sin theta +1),(z=t):}$
con $ rho in [0,1]$ , $theta in [0,2pi]$ , $t in [0, rho sin theta + 3]$
per poi avere il cerchio alla base come $(rho cos theta +1,rho sin theta +1,0)$,
l'altro "tappo" sopra come $(rho cos theta +1,rho sin theta +1,rho sin theta + 3)$
e il contorno come $(cos theta +1, sin theta +1, t)$
ma visto che i conti (integrali controllati con wolfram) non tornano, suppongo di aver sbagliato il ragionamento alla base;
una mano?
$F(x,y,z)=(0,0,z)$
e il dominio di $RR^3$
$ D ={(x,y,z) in RR^3 : (x-1)^2+(y-1)^2<=1 , 0<=z<=y+2}$
verificare la validità del Teorema di Gauss in $RR^3$ per il campo F e il dominio D.
Disegno
Io avevo pensato di parametrizzare
$ {(x=rho cos theta +1 ),(y=rho sin theta +1),(z=t):}$
con $ rho in [0,1]$ , $theta in [0,2pi]$ , $t in [0, rho sin theta + 3]$
per poi avere il cerchio alla base come $(rho cos theta +1,rho sin theta +1,0)$,
l'altro "tappo" sopra come $(rho cos theta +1,rho sin theta +1,rho sin theta + 3)$
e il contorno come $(cos theta +1, sin theta +1, t)$
ma visto che i conti (integrali controllati con wolfram) non tornano, suppongo di aver sbagliato il ragionamento alla base;
una mano?
Risposte
Veramente, calcolare il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro sarebbe tempo sprecato. Più intuitivamente, il campo vettoriale è parallelo all'asse $z$, la normale alla superficie laterale del cilindro è, in ogni suo punto, parallela al piano $xy$. Insomma, il flusso non può che essere nullo. Se la consegna prevede che si debbano fare i conti esplicitamente, le conclusioni di cui sopra possono comunque aiutare a non commettere errori.
Mmh sì, la consegna non dice di calcolare il flusso, ma di verificare il teorema di Gauss;
si vede facilmente che $ "div" F = 1$, e con gli estremi che ho scritto $ int int int 1 dx dy dz != 0 $ quindi considerando le tue conclusioni quello che ho fatto non è corretto.
EDIT l'integrale triplo di 1 rappresenta il volume della figura, che sicuramente non è 0, dovrei dedurre che il teorema della divergenza non è quindi ivi applicabile?
si vede facilmente che $ "div" F = 1$, e con gli estremi che ho scritto $ int int int 1 dx dy dz != 0 $ quindi considerando le tue conclusioni quello che ho fatto non è corretto.
EDIT l'integrale triplo di 1 rappresenta il volume della figura, che sicuramente non è 0, dovrei dedurre che il teorema della divergenza non è quindi ivi applicabile?
Devi calcolare il flusso attraverso le due superfici di base. Veramente, attraverso la base inferiore, il flusso è evidentemente nullo.
Beh, fin lì non ci piove, essendo l'integrale di un prodotto scalare che è (0,0,0).
Comunque qui c'è il procedimento che ho seguito.
Se risulta faticoso da capire dimmelo che procedo a riscriverlo in formule qua.
Comunque qui c'è il procedimento che ho seguito.
Se risulta faticoso da capire dimmelo che procedo a riscriverlo in formule qua.
Come hai giustamente scritto, l'integrale di volume della divergenza è diverso da zero:
$\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\rhosin\phi+3}dt[\rho]=\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi[\rho^2sin\phi+3\rho]=\int_{0}^{1}d\rho[6\pi\rho]=3\pi$
Ergo, il flusso attraverso la superficie chiusa deve valere $3\pi$. Tuttavia, quella superficie si suddivide in tre parti. Mi preme sottolinearlo perché, in un precedente messaggio, ho avuto l'impressione che non fosse chiaro. Il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro e la base inferiore è nullo. Il flusso attraverso la base superiore (attenzione al verso della normale), se leggo bene il tuo risultato, dovrebbe valere proprio $3\pi$.
$\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\rhosin\phi+3}dt[\rho]=\int_{0}^{1}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi[\rho^2sin\phi+3\rho]=\int_{0}^{1}d\rho[6\pi\rho]=3\pi$
Ergo, il flusso attraverso la superficie chiusa deve valere $3\pi$. Tuttavia, quella superficie si suddivide in tre parti. Mi preme sottolinearlo perché, in un precedente messaggio, ho avuto l'impressione che non fosse chiaro. Il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro e la base inferiore è nullo. Il flusso attraverso la base superiore (attenzione al verso della normale), se leggo bene il tuo risultato, dovrebbe valere proprio $3\pi$.
Sì, ora quadra tutto; dovevo aver fatto un errore nel calcolo dell'integrale triplo. Ti ringazio
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