Teorema della divergenza
Ragazzi, ultimamente posto qualche messaggio ma di risposte ne ricevo poche. Adesso provo con questo esercizio:
"Sia $ Sigma $ la superficie totale della piramide retta con base quadrata sul piano $ z=0 $ individuata dai vertici $ (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1) $ e vertice nel punto $ (0,0,2) $. Sia $ Lambda $ la superficie totale del cubo con vertici $ (-1,-1,0), (-1,1,0),(1,1,0), (-1,1,-2) $ e sia $ B $ la faccia di $ Lambda $ sul piano $ z=-2 $. Posto $ Gamma = Sigma uu Lambda - B $ e $ V-= (x+3y, 3x+2y,z^2+2y) $, utilizzando il teorema della divergenza, calcolare il flusso di $ V $ "ENTRANTE" da $ Gamma $."
Io ho provato a risolvere il problema nel modo seguente: Ho calcolato la divergenza ed ho calcolato il flusso uscente dal cubo, trovandolo uguale a $ 8 $. Poi ho calcolato quello uscente dalla piramide in questa maniera: Ho scritto la retta $ z=-2y+2 $ che mi è servita per parametrizzare la piramide in questo modo: $ ( ( x=t ),( y=t ),(z=-2t+2) ) $. Dopo averla parametrizzata ho calcolato il flusso nel modo seguente: $ int_(0)^(1) t^2(3+2(2-2t)) dt=4/3 $. Il flusso totale uscente dalla mia figura sarà $ (28)/3 $ che, volendolo entrante, dovrà avere davanti il segno meno.
Per calcolare il flusso di $ B $ entrante, ho scritto la parametrizzazione oraria di tutti e quattro gli spigoli del cubo nel piano $ z=-2 $ e poi ho svolto i 4 integrali moltiplicando scalarmente $ V $ per $ (0,0,1) $. (Cioè ho fatto la prima parametrizzazione e l'ho sostituita al mio campo moltiplicandola per la normale entrante scalarmente, poi ho fatto la seconda, poi la terza ed infine la quarta--->può andare bene?).
Infine ho sottratto questo flusso a quello entrante totale, ottenendo $ Phi=-(124)/3 $.
Secondo voi può andare? Spero di ricevere una risposta da qualcuno che sa fare questo esercizio perchè io ho molti dubbi sul mio svolgimento!
"Sia $ Sigma $ la superficie totale della piramide retta con base quadrata sul piano $ z=0 $ individuata dai vertici $ (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1) $ e vertice nel punto $ (0,0,2) $. Sia $ Lambda $ la superficie totale del cubo con vertici $ (-1,-1,0), (-1,1,0),(1,1,0), (-1,1,-2) $ e sia $ B $ la faccia di $ Lambda $ sul piano $ z=-2 $. Posto $ Gamma = Sigma uu Lambda - B $ e $ V-= (x+3y, 3x+2y,z^2+2y) $, utilizzando il teorema della divergenza, calcolare il flusso di $ V $ "ENTRANTE" da $ Gamma $."
Io ho provato a risolvere il problema nel modo seguente: Ho calcolato la divergenza ed ho calcolato il flusso uscente dal cubo, trovandolo uguale a $ 8 $. Poi ho calcolato quello uscente dalla piramide in questa maniera: Ho scritto la retta $ z=-2y+2 $ che mi è servita per parametrizzare la piramide in questo modo: $ ( ( x=t ),( y=t ),(z=-2t+2) ) $. Dopo averla parametrizzata ho calcolato il flusso nel modo seguente: $ int_(0)^(1) t^2(3+2(2-2t)) dt=4/3 $. Il flusso totale uscente dalla mia figura sarà $ (28)/3 $ che, volendolo entrante, dovrà avere davanti il segno meno.
Per calcolare il flusso di $ B $ entrante, ho scritto la parametrizzazione oraria di tutti e quattro gli spigoli del cubo nel piano $ z=-2 $ e poi ho svolto i 4 integrali moltiplicando scalarmente $ V $ per $ (0,0,1) $. (Cioè ho fatto la prima parametrizzazione e l'ho sostituita al mio campo moltiplicandola per la normale entrante scalarmente, poi ho fatto la seconda, poi la terza ed infine la quarta--->può andare bene?).
Infine ho sottratto questo flusso a quello entrante totale, ottenendo $ Phi=-(124)/3 $.
Secondo voi può andare? Spero di ricevere una risposta da qualcuno che sa fare questo esercizio perchè io ho molti dubbi sul mio svolgimento!
Risposte
Secondo me hai cannato completamente: dove stai usando il Teorema della Divergenza? A me pare che fai un calcolo diretto è, in alcuni punti, anche un po' arrancato. Per prima cosa, il TdD afferma che se $\Omega$ è un solido e $\partial\Omega$ il suo bordo (ed è una superficie chiusa) allora si ha per il flusso uscente
$\Phi(F)=\int_{\partial\Omega} F\cdot n\ d\sigma=\int_\omega (\nabla\cdot F)\ d\tau$
dove $d\sigma$ è l'elemento di superficie, $n$ la normale uscente dalla superficie e $d\tau$ l'elemento di volume.
Per prima cosa, osserva che a te la formula serve ponendo dei meno davanti a tutto, in quanto calcoli il flusso entrante.
Ora, considera $\Gamma$: essa è la superficie totale del solido formato dalla sovrapposizione di piramide e cubo (si vede facilmente che la base del cubo al livello $z=0$ e quella della piramide coincidono) privata però della base inferiore del cubo (che coincide con la base di tutto tale solido. Se allora tu considerassi $\Gamma\cup B$ tale superficie richiuderebbe completamente il solido piramide+cubo e potresti applicare il teorema precedente. Si ha allora, se indichiamo con $\omega$ tale solido e con $\Gamma\cup B=\partial \Omega$
$\int_{\Gamma\cup B} V\cdot n\ d\sigma=\int_{\Omega} \nabla\cdot V\ d\tau$
Ora, a noi interessa il flusso su $\Gamma$ per cui, dal momento che $\int_{\Gamma\cup B}=\int_\Gamma+\int_B$ si ha
$\int_\Gamma V\cdot n\ d\sigma=\int_{\Omega}\nabla\cdot V\ d\tau-\int_B V\cdot n\ d\sigma$
Per calcolare il flusso dobbiamo, allora, calcolare questi due integrali a destra.
1) Poiché $B$ è la faccia sul piano $z=-2$, la normale entrante è il vettore $n=(0,0,1)$ mentre una parametrizzazione ovvia di tale faccia è $r(u,v)=(u,v,-2)$ con $(u,v)\in[-1,1]\times[-1,1]$. Si ha allora
$r_u=(1,0,0),\ r_v=(0,1,0),\qquad ||r_u\times r_v||=1$ e quindi
$\int_B V\cdot n\ d\sigma=\int_{-1}^1\int_{-1}^1 (4+2v)\ du\ dv=2[4v+v^2]_{-1}^1=16$
2) Osserviamo per prima cosa che
$\nabla\cdot V=1+2+2z=3+2z$
Ora, il solido in questione è formato dalla piramide $P$ e dal cubo $C$: viene da se che bisognerà calcolare la somma dei due integrali
$\int\int\int_P(3+2z)\ d\tau+\int\int\int_C(3+2z)\ d\tau$
Sono due integrali abbastanza semplici che ti lascio l'onore di calcolare.
Alla fine basterà sottrarre al risultato in 2) quello in 1) e cambiare di segno per ottenere il valore corretto del flusso.
$\Phi(F)=\int_{\partial\Omega} F\cdot n\ d\sigma=\int_\omega (\nabla\cdot F)\ d\tau$
dove $d\sigma$ è l'elemento di superficie, $n$ la normale uscente dalla superficie e $d\tau$ l'elemento di volume.
Per prima cosa, osserva che a te la formula serve ponendo dei meno davanti a tutto, in quanto calcoli il flusso entrante.
Ora, considera $\Gamma$: essa è la superficie totale del solido formato dalla sovrapposizione di piramide e cubo (si vede facilmente che la base del cubo al livello $z=0$ e quella della piramide coincidono) privata però della base inferiore del cubo (che coincide con la base di tutto tale solido. Se allora tu considerassi $\Gamma\cup B$ tale superficie richiuderebbe completamente il solido piramide+cubo e potresti applicare il teorema precedente. Si ha allora, se indichiamo con $\omega$ tale solido e con $\Gamma\cup B=\partial \Omega$
$\int_{\Gamma\cup B} V\cdot n\ d\sigma=\int_{\Omega} \nabla\cdot V\ d\tau$
Ora, a noi interessa il flusso su $\Gamma$ per cui, dal momento che $\int_{\Gamma\cup B}=\int_\Gamma+\int_B$ si ha
$\int_\Gamma V\cdot n\ d\sigma=\int_{\Omega}\nabla\cdot V\ d\tau-\int_B V\cdot n\ d\sigma$
Per calcolare il flusso dobbiamo, allora, calcolare questi due integrali a destra.
1) Poiché $B$ è la faccia sul piano $z=-2$, la normale entrante è il vettore $n=(0,0,1)$ mentre una parametrizzazione ovvia di tale faccia è $r(u,v)=(u,v,-2)$ con $(u,v)\in[-1,1]\times[-1,1]$. Si ha allora
$r_u=(1,0,0),\ r_v=(0,1,0),\qquad ||r_u\times r_v||=1$ e quindi
$\int_B V\cdot n\ d\sigma=\int_{-1}^1\int_{-1}^1 (4+2v)\ du\ dv=2[4v+v^2]_{-1}^1=16$
2) Osserviamo per prima cosa che
$\nabla\cdot V=1+2+2z=3+2z$
Ora, il solido in questione è formato dalla piramide $P$ e dal cubo $C$: viene da se che bisognerà calcolare la somma dei due integrali
$\int\int\int_P(3+2z)\ d\tau+\int\int\int_C(3+2z)\ d\tau$
Sono due integrali abbastanza semplici che ti lascio l'onore di calcolare.
Alla fine basterà sottrarre al risultato in 2) quello in 1) e cambiare di segno per ottenere il valore corretto del flusso.
Per prima cosa voglio ringraziarti della risposta. In seguito ho un paio di domande da farti: Premesso che per quanto riguarda il discorso della base sono d'accordo d'aver cannato del tutto, volevo sapere se la parametrizzazione del cubo dipende dall'orientazione. Tu hai fatto una parametrizzazione e poi hai fatto il prodotto scalare con la normale diretta verso l'alto (a proposito, che senso ha usare la normale verso l'alto e poi metterci il segno meno? Non sarebbe una doppia negazione che lo trasforma in uscente di nuovo?) e per quanto riguarda la superficie cubica non cambia niente, ma se invece avessi avuto a che fare con una circonferenza? In questo caso ci sarebbe distinzione tra fare $ int sinxdx $ e $ intcosxdx $ tra due estremi. Poi volevo sapere come fai a fare l'integrale su una piramide! Io pensavo di trovare la retta generatrice ed esplicitare la $ z $ che poi mi avrebbe funzionato da raggio, quindi fare $ pi z^2 $ moltiplicato per la divergenza ed integrato tra gli estremi! Grazie per la pazienza che hai!
Sì, la normale corretta era questa $n=(0,0,-1)$, cioè quella uscente, visto che poi cambio a tutto di segno.
Non ho capito la tua domanda su quei due integrali relativamente alle normali della sfera: potresti spiegarti meglio.
per l'ultimo quesito: è un integrale triplo su un solido che è dato dalla piramide (piramide, non cono!!!!! Tu anche prima ragionavi come se avessi a che fare con un cono!) per cui devi semplicemente scriverti le limitazioni per il dominio della piramide stessa.
Non ho capito la tua domanda su quei due integrali relativamente alle normali della sfera: potresti spiegarti meglio.
per l'ultimo quesito: è un integrale triplo su un solido che è dato dalla piramide (piramide, non cono!!!!! Tu anche prima ragionavi come se avessi a che fare con un cono!) per cui devi semplicemente scriverti le limitazioni per il dominio della piramide stessa.
Grazie Ciampax e scusa il ritardo nella risposta... Volevo sapere come fare a scegliere il verso dell'orientazione del bordo nel caso del flusso uscente... Per questo ho scritto seno e coseno poiché non è uguale scegliere il verso orario o antiorario!
Ah sì: di solito il verso uscente della normale è tale se, percorrendo il bordo in senso antiorario, vedi questo vettore sulla tua sinistra.
Perfetto... Quindi se mi muovo sul bordo del tappo superiore del cilindro, l'orientazione di questo dovrà essere oraria! Grazie ancora e buon anno (anche se in ritardo)...
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