Teorema della convergenza totale

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Yuyu_13
Yuyu_13
18 mag 2022, 11:58
Buongiorno.

Sto studiando il teorema della convergenza totale per le serie di funzioni.
Sia ${x_n}$ una successione in uno spazio di Banach.
Se la serie delle norme $Sigma \normx_n$ è convergente, allora anche la serie $sigma x_n$ è convergente, inoltre vale
$**|Sigma\ x_n|le Sigma \normx_n$


Dimostrazione:
La convergenza dellla serie numerica $Sigma \normx_n$ implica che fissato $epsilon>0$ esista, un certo $N_epsilon$, per cui si ha
$norm\x_p + norm\x_(p+1) + . . . +norm\x_(p+q) per ogni $pgeN_epsilon$ e per ogni $ q in NN_0$
Dalla disuguaglianza triangolare si ha
$*norm\(x_p +x_(p+1)+ . . . +x_(p+q)) lenorm\x_p + norm\x_(p+1) + . . . +norm\x_(p+q)
Ora viene detto che da quest'ultima relazione implica la convergenza della serie $Sigma \ x_n$ per il criterio di Cauchy, inoltre, la $**$ è vera per ogni somma parziale.


La parte della dimostrazione che non mi risulta chiara è quella sottolineata, cioè mi spiego meglio, la tesi consiste nel far vedere che (C.Cauchy)
$Sigma\x_n$ è convergente se e solo se $forall epsilon>0, exists N_epsilon$ tale che $|x_p+...+ x_(p+q)|
Perché la relazione $**$ combinata con il criterio di Cauchy mi restituisce la tesi?

Forse perché vale $norm\(x_p +x_(p+1)+ . . . +x_(p+q)) ge |x_p +x_(p+1)+ . . . +x_(p+q)| $ ?
Risposte
otta96
otta96
18 mag 2022, 17:29
Ma cosa intendi con $|x_n|$?
Yuyu_13
Yuyu_13
18 mag 2022, 17:50
Ciao, intendo il valore assoluto.
Yuyu_13
Yuyu_13
19 mag 2022, 09:11
Penso di aver risolto, cioé, quando si ha
$ norm\(x_p +x_(p+1)+ . . . +x_(p+q)) lenorm\x_p + norm\x_(p+1) + . . . +norm\x_(p+q)
$ norm\(x_p +x_(p+1)+ . . . +x_(p+q))
Dopodiché se vedo il criterio di Cauchy in uno spazio di Banach, allora mi trovo.
Ma di questo non ne sono sicuro.
otta96
otta96
19 mag 2022, 13:45
Ma il valore assoluto è definito per numeri reali, non per elementi dello spazio di Banach.
Yuyu_13
Yuyu_13
19 mag 2022, 14:29
Quindi, perchè posso dire che da
1) $ norm\(x_p +x_(p+1)+ . . . +x_(p+q)) 2) Criterio di Cauchy

si ha la tesi ?
otta96
otta96
19 mag 2022, 18:34
Ma perchè quello è esattamente l'ipotesi del criterio di Cauchy per una successione di quella forma.
Yuyu_13
Yuyu_13
20 mag 2022, 08:25
Sul libro, l'ipotesi viene riportata scritta con il valore assoluto, dunque, in uno spazio normato può assumere una diversa forma ?

Ciao
otta96
otta96
20 mag 2022, 15:17
O usa una notazione insolita (anche se spesso si usa quella nel caso di dimensione finita) o è un errore.
Yuyu_13
Yuyu_13
20 mag 2022, 16:19
Non lo so, è Analisi due pagani e Salsa edizione 2016, una delle prime stampe, può darsi che sia questo il problema, lo conosci ?
otta96
otta96
20 mag 2022, 18:01
Puoi ricontrollare il contesto in cui c'è $|.|$? Assicurati che lo usi per elementi di uno spazio normato, e semmai posta le foto.
Yuyu_13
Yuyu_13
20 mag 2022, 18:53
Va bene...fra poco invio la foto.
Yuyu_13
Yuyu_13
21 mag 2022, 05:51
Eccole




otta96
otta96
21 mag 2022, 07:37
A questo punto direi proprio che è un errore del libro.
Yuyu_13
Yuyu_13
21 mag 2022, 10:06
"otta96":
A questo punto direi proprio che è un errore del libro.


Ho fatto bene a riaquistarlo. Io penso che questi errori sono dovuti al fatto che il libro è una primissima stampa della seconda edizione.
dissonance
dissonance
24 mag 2022, 12:25
In ogni caso, la dimostrazione è esattamente la stessa che nel caso reale. Se hai capito bene la dimostrazione del fatto che una serie assolutamente convergente è convergente, hai capito anche questo caso qui. Basta sostituire tutti i valori assoluti con norme. Forse per questo sul libro si sono sbagliati. Hanno fatto un copia-incolla da qualche altra parte.
Yuyu_13
Yuyu_13
26 mag 2022, 08:39
Si in effetti sono molto simili, per non dire uguali.
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