Teorema della convergenza dominata
Per ognuna delle seguenti successioni di funzioni
$f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2} \qquad f_n(x) = \frac{x}{1 + n^2 x^2} \qquad x \in [0, 1]$
valutare se la seguente uguaglianza vale oppure no
$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x) dx$
Mi è stato detto che per una delle due vale, per l'altra no.
Ho provato a calcolare il limite dell'integrale e l'integrale del limite per le due successioni, ma trovo gli stessi risultati in entrambi i casi... mi son detto, avrò sbagliato qualche conto, e allora ho provato a vedere se le ipotesi del Teorema della convergenza dominata sono soddisfatte.
L'insieme $[0,1]$ è misurabile, entrambe le successioni convergono puntualmente in $[0,1]$ alla funzione identicamente nulla. Inoltre $0 \le |\frac{n x}{1 + n^2 x^2}| \le \frac{1}{1 + x^2}$, $0 \le |\frac{x}{1 + n^2 x^2}| \le 1$, per ogni $x \in [0,1]$, e sia $\frac{1}{1 + x^2}$ che $1$ sono funzioni integrabili in $[0,1]$, quindi anche le ipotesi del Teorema sono soddisfatte...
Mi potreste dire dove sbaglio?
$f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2} \qquad f_n(x) = \frac{x}{1 + n^2 x^2} \qquad x \in [0, 1]$
valutare se la seguente uguaglianza vale oppure no
$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 \lim_{n \to +\infty} f_n(x) dx$
Mi è stato detto che per una delle due vale, per l'altra no.
Ho provato a calcolare il limite dell'integrale e l'integrale del limite per le due successioni, ma trovo gli stessi risultati in entrambi i casi... mi son detto, avrò sbagliato qualche conto, e allora ho provato a vedere se le ipotesi del Teorema della convergenza dominata sono soddisfatte.
L'insieme $[0,1]$ è misurabile, entrambe le successioni convergono puntualmente in $[0,1]$ alla funzione identicamente nulla. Inoltre $0 \le |\frac{n x}{1 + n^2 x^2}| \le \frac{1}{1 + x^2}$, $0 \le |\frac{x}{1 + n^2 x^2}| \le 1$, per ogni $x \in [0,1]$, e sia $\frac{1}{1 + x^2}$ che $1$ sono funzioni integrabili in $[0,1]$, quindi anche le ipotesi del Teorema sono soddisfatte...
Mi potreste dire dove sbaglio?
Risposte
Posso solo osservare che le funzioni della prima successione sono maggiorate tutte dalla funzione costante $g(x) = 1/2$ , in quanto tutte le $f_n $ raggiungono il loro max per $x = 1/n $ e tale max vale $ 1/2 $ .Da notare quindi che la convergenza non è uniforme ma il teorema di Lebesgue ci permette di scambiare segno di integrale e di limite.
Ma nulla cambia rispetto a quello che hai scritto .
Ma nulla cambia rispetto a quello che hai scritto .
Effettivamente, anche a me sembra che tu abbia correttamente applicato il teorema di Lebesgue, trovando per ogni successione una maggiorante sommabile.
Allora l'unica cosa che mi viene in mente è che abbia sbagliato a copiare il testo... Grazie a entrambi. 
Sappici dire...
Sappirò! 
"Tipper":
Sappirò!
senti, ora non metterti a sparare un neologismo al giorno, eh!
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