Teorema dell esistenza degli zeri

[martolina002]

Qualcuno di cuor generoso può dare un occhiata a questa dimostrazione... ?? non voglio studiare a memoria quindi lo rifatta in modo da ricordarmela bene e come lo capita.

SIA UNA FUNZIONE CONTINUA IN UN INTERVALLO [a,b] TALE CHE F(a)F(b)<0, allora esiste almeno un xo $in$ [a,b] tale che F(xo)=0
E SE F è STRETTAMENTE MONOTONA IN [a,b] allora esiste un unico xo $in$ [a,b] tale che F(xo)=0

DIMOSTRAZIONE

Supposto per ipotesi che f(a)f(b)<0 allora pongo f(a)<0 e f(b)>0 e considero il punto medio dell intervallo [a,b]. cioè $c=(a+b)/2$.
Ora andiamo a valutare la funzione in tale punto.
Per f(c)=0 in questo caso la radice è trovata
Per f(c)>0 e per f(c)<0.
Per il teorema di bolzano-weierstrass allora preso l intervallo [a,b] lo suddivido in due sottointervalli [a,c][c,b] tali che:
per f(c)>0 la funzioneassume tutti i valori di segno discorde agli estremi dell intervallo [a,c]; per f(c)<0 nell [c,b] la funzione cambia di segno.
Indichiamo con [a1,b1] l intervallo dove la funzione cambia di segno cioè:
se f(c)>0 allora a1=a e b1=c
se f(c)<0 allora a1=c e b1=b
Quindi abbiamo formato un nuovo intervallo [a1,b1] con $c1=(a1+b1)/2$ di lunghezza $(b-a)/2$ per cui f(a1)<0 e f(b1)>0.
Si procede in questo modo fino n-volte considerando l intervallo [an,bn] con $cn=(an+bn)/2$ di lunghezza $(bn-an)=(b-a)/2^n$ $AA$ n $in$ N
Abbiamo ottenuto tre successioni an bn cn tali che f(an)<0 f(bn)>0 f(cn)=0.
Si osserva che
an è una successione limitata superiormente e crescente con an bn è una successione decrescente e limitata inferiormente con bn>a
trattandosi di successioni crescenti e decrescenti e quindi monotone per il teorema delle successioni monotone ne considero il loro estremo superiore e inferiore.
Entrambe ammettono limite finito e coincide con l estremo superiore e inferiore.
$lim_(x->x0)f(an)=SUP(an) $ $lim_(x->x0)f(bn)=INF(bn)$
Dato che sup(an)$<=$ inf(bn) e dato che
$lim_(x->x0)(bn-an) $=$lim_(x->x0)(b-a)/2$ risulta che b=a allora
sup(an)=inf(bn) e quindi se esiste uno zero per la funzione allora deve coincidere con xo=sup(an)=inf(bn).
Per dimostrare che xo è uno zero per la funzione osseerviamo che
f(an) è una successione strett. negativa
f(bn) è una successione strett positiva
ragionando per assurdo e considerando f(xo) per la continuità di f abbiamo che:
$lim_(x->x0)f(an)=f(xo)$ $lim_(x->x0)f(bn)=f(xo)$
se f(xo)>0 cadò in una contraddizione perchè per il teorema della permanenza del segno il $lim_(x->x0)f(an)$ non può essere mai positivo e se f(xo)<0 cadrò in una contraddizione perchè il $lim_(x->x0)f(bn)$ non può essere mai negativo.
e quindi l unica possibilità è che f(xo)=0 da cui la tesi

[martolina002]

penso di aver rispettato le regole...non capiso xk non rispondete ... qst è ennesima volta....

[Zero87]

"martolina00":penso di aver rispettato le regole...non capiso xk non rispondete ... qst è ennesima volta....

Ennesima... questo è il tuo terzo messaggio, non è un tantinello esagerata l'iperbole?

Comunque benvenuta al forum e, quando scrivi un post, in alto c'è un box rosa dove c'è il link al regolamento e a come si scrivono le formule. Nel regolamento, ad es, c'è scritto di non uppare prima di 24 ore e di scrivere in italiano non da sms.
Comunque ti sei appena iscritta, quindi non ti tireranno molto le orecchie sul regolamento, io intanto te l'ho accennato.

Tralasciando considerazioni giuridiche-forumistiche devo dire che questa dimostrazione mi è nuova anche se mi sembra che non ci siano errori.

Però, magari vaneggio, ma ricordo che questo teorema si dimostrava tramite quello di esistenza dei valori intermedi (o viceversa?).

[martolina002]

sul mio libro dopo sta il teorema dei valori intermedi... che comunque utilizza il teorema di weierstrass. io sapevo così

[gugo82]

La dimostrazione è abbastanza corretta, ma va limata perché ci sono degli errori.

"martolina00":DIMOSTRAZIONE

Supposto per ipotesi che $f(a)f(b)<0$ allora pongo $f(a)<0$ e $f(b)>0$[...]

E se è il contrario (cioè $f(a)>0$ ed $f(b)<0$) la dimostrazione continua a funzionare o no?
Perché?

"martolina00":[...] e considero il punto medio dell intervallo [a,b]. cioè $c=(a+b)/2$.
Ora andiamo a valutare la funzione in tale punto.
Per f(c)=0 in questo caso la radice è trovata
Per f(c)>0 e per f(c)<0.
Per il teorema di bolzano-weierstrass

Che cosa c'entra qui il Teorema di Bolzano-Weierstrass[nota]"Ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione".[/nota]?

"martolina00":[...] allora preso l intervallo [a,b] lo suddivido in due sottointervalli [a,c][c,b] tali che:
per f(c)>0 la funzione assume [strike]tutti i[/strike] valori di segno discorde agli estremi dell intervallo [a,c]; per f(c)<0 nell [c,b] la funzione cambia di segno.

L'ultima proposizione va detta nello stesso modo della prima, cioè: se $f(c)<0$ allora la funzione assume valori discordi agli estremi di \([c,b]\).

"martolina00":Indichiamo con [a1,b1] l intervallo dove la funzione cambia di segno cioè:
se f(c)>0 allora a1=a e b1=c
se f(c)<0 allora a1=c e b1=b

Questo è falso.
La funzione può cambiare di segno in tutti e due gli intervalli (beninteso, se non è monotòna!), ergo il cambiare di segno di \(f\) non è il criterio di scelta dell'intervallino \([a_1,b_1]\).
Il criterio che consente la scelta di \([a_1,b_1]\) tra \([a,c]\) e \([c,b]\) è: la funzione \(f\) DEVE assumere valori di segno discorde agli estremi dell'intervallino \([a_1,b_1]\).
Di ciò che accade dentro l'intervallo non importa nulla a nessuno.

"martolina00":Quindi abbiamo formato un nuovo intervallo [a1,b1] con $c1=(a1+b1)/2$ di lunghezza $(b-a)/2$ per cui f(a1)<0 e f(b1)>0.
Si procede in questo modo fino n-volte considerando l intervallo [an,bn] con $cn=(an+bn)/2$ di lunghezza $(bn-an)=(b-a)/2^n$ $AA$ n $in$ N
Abbiamo ottenuto tre successioni an bn cn tali che f(an)<0 f(bn)>0 f(cn)=0.[...]

Se procedi in questo modo "solo" \(n\) volte non ottieni una successione, ma un numero finito di punti, i.e. \(a_1,a_2,\ldots ,a_n\), \(b_1,b_2,\ldots ,b_n\) e \(c_1,c_2,\ldots ,c_n\).

Le tre successioni le ottieni solamente se il procedimento iterativo continua "ad libitum", senza arrestarsi mai.
Qual è il criterio di arresto"?

"martolina00":Si osserva che
an è una successione limitata superiormente e crescente con an bn è una successione decrescente e limitata inferiormente con bn>a
trattandosi di successioni crescenti e decrescenti e quindi monotone per il teorema delle successioni monotone ne considero il loro estremo superiore e inferiore.
Entrambe ammettono limite finito e coincide con l estremo superiore e inferiore.
[strike]$lim_(x->x0)f(an)=SUP(an) $ $lim_(x->x0)f(bn)=INF(bn)$[/strike] [...]

Le relazioni di limite corrette sono \(\lim a_n = \sup a_n\) e \(\lim b_n =\inf b_n\).

"martolina00":[...] Dato che sup(an)$<=$ inf(bn) e dato che
$lim_(x->x0)(bn-an) $=$lim_(x->x0)(b-a)/2$ risulta che b=a [...]

Perchè gli estremi \(a\) e \(b\) dell'intervallo iniziale debbamno essere uguali mi sfugge.

"martolina00":[...] allora
sup(an)=inf(bn) e quindi se esiste uno zero per la funzione allora deve coincidere con xo=sup(an)=inf(bn).
Per dimostrare che xo è uno zero per la funzione osseerviamo che
f(an) è una successione strett. negativa
f(bn) è una successione strett positiva
ragionando per assurdo e considerando f(xo) per la continuità di f abbiamo che:
$lim_(x->x0)f(an)=f(xo)$ $lim_(x->x0)f(bn)=f(xo)$
se f(xo)>0 cadò in una contraddizione perchè per il teorema della permanenza del segno il $lim_(x->x0)f(an)$ non può essere mai positivo e se f(xo)<0 cadrò in una contraddizione perchè il $lim_(x->x0)f(bn)$ non può essere mai negativo.
e quindi l unica possibilità è che f(xo)=0 da cui la tesi

Ok.

Manca la parte di unicità, ma è di semplice dimostrazione.

[martolina002]

se ho usato il teorema di weierstrass perchè sul marcellini sbordone usa tale teorema e pure gli appunti del professore... poi se ho supposto f(a)<0 f(b)>0 e solo perchè il mio professore usa tale ipotesi

[Zero87]

"gugo82":[quote="martolina00"]DIMOSTRAZIONE
Supposto per ipotesi che $f(a)f(b)<0$ allora pongo $f(a)<0$ e $f(b)>0$[...]

E se è il contrario (cioè $f(a)>0$ ed $f(b)<0$) la dimostrazione continua a funzionare o no?[/quote]
Le altre cose non l'avevo viste - però sembrava anche a me, almeno in grande, corretta come dimostrazione -, ma questa qui era una distrazione personale, non ci avevo proprio pensato, sorry.

[martolina002]

si lo so ma lo studiata così perchè il mio professore a dato questa dimostrazione