Teorema del rotore

[jack5675]

Salve ragazzi volevo delucidazioni riguardo un esercizio in cui applicare il teorema di Stokes o del rotore.
Detta S la superficie cilindrica $ z=x^2+1 $ con $ x in [2,4] $ e direttrice parallal all'asse y compresa tra i piani $ y=-1 $ e $ y=1 $ e assegnato il campo vettoriale $ vecv(x,y) $ determinare il lavoro lungo la parte del bordo di S appartente al piano $ y=1 $.
La superficie che ho parametrizzato è: $ S={ ( x=t ),( y=tau ),( z=t^2+1 ):} (t,tau) in [2,4] xx[-1,1] $
posso quindi per risalire al risultato usare il teorema di stokes cioè : $ int_(S) (nablaxx vecv)*ndsigma=int_(beta (S)) vecv*nds $ per quanto riguarda il secondo integrale quello sul bordo la sua parametrizzazione è:
$ beta(S) { ( x=k),( y=1),( z=k^2+1 ):} k in [2,4] $
poiché la curva è $ gamma:{ (t=k),( tau=1 ):} k in [2,4] $
quindi l'integrale da svolgere è $ int_(2)^(4) v_1(k)dk +int_(2)^(4)v_3(k)(2k)dk $ la seconda componente del campo è nulla poiché $ dy=0 $.
E' giusta la parametrizzazione del bordo oppure ho sbagliato ? se ho sbagliato potreste indicarmi qual è la giusta strada ?
Grazie mille

[Studente Anonimo]

"jack5675":
... volevo delucidazioni riguardo un esercizio in cui applicare il teorema di Stokes ...

Non ne comprendo il motivo. Tra l'altro, la curva lungo la quale devi calcolare la circuitazione non è nemmeno chiusa:

$\{(x=t),(y=1),(z=t^2+1):} ^^ 2 lt= t lt= 4 rarr P_1(2,1,5) ^^ P_2(4,1,17)$

Non vorrei che tu stessi dando per scontato, senza un'oggettiva necessità, l'applicazione del teorema di Stokes. In realtà si tratta semplicemente di calcolare il seguente integrale:

$\int_{2}^{4}tdt=6$

[jack5675]

Innanzitutto grazie per la risposta.
Bastava quindi parametrizzare la curva sul piano $ y=1 $ e calcolare l'integrale curvilineo del vettore $ vec v(x,y) $ lungo la curva $ int_(+Gamma)v*dp $ in pratica l'uguaglianza del teorema non sussiste poiché giustamente come mi facevi notare non si tratta di circuitazione ma semplicemente di lavoro lungo una curva andava quindi calcolato solo l'integrale del lavoro quindi $ int_2^4 kdt=6 $ poiché $ dy=0 $. Giusto ?
Grazie mille

[Studente Anonimo]

"jack5675":
... poiché $[dy=0]$ ...

Più precisamente, perché $[dy=0]$ e $[v_z=0]$. Riepilogando:

$\{(x=t),(y=1),(z=t^2+1):} rarr \{(dx=dt),(dy=0),(dz=2tdt):}$

$\{(v_x=x=t),(v_y=y=1),(v_z=0):}$

$v_xdx+v_ydy+v_zdz=tdt$

[jack5675]

Certo Grazie mille!