Teorema del riordino delle serie

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno, sono alle prese con il teorema del riordino di una serie assolutamente convergente. Il teorema enunciatomi dal mio professore dice questo:
"Sia la serie $a_n$ assolutamente convergente e sia $f$ una funzione biunivoca da $N->N$, allora la serie $\sum a_f(n)$ converge a $\sum a_n$"
Il mio problema sta nella dimostrazione da lui proposta.

Sia $A_n= \sum (a_n) ->l$ e sia $S_n= \sum (|a_n|)->l$. Chiamo $B_n= \sum (a_f(n))->l$, devo dimostrare che questo e' vero ossia che $∀ε>0 ∃n_1 : N>n_1$ implica che $|B_n-l|<ε$
$|B_n-l|<|B_n-A_m|+|A_m-l|$
Sia m un indice tale che $|A_m-l|<ε$ perche' so che $A_m->l$ per $m->oo$ e fino a qui tutto chiaro, da questo punto in poi non capisco piu' nulla
$|B_n-A_m|=a_f(1)+a_f(2)+...+a_f(n)-a_1-a_2-...-a_m$
quindi $∃n_1 : N>n_1$ implica che ${f(1)....f(n)}>{1...m}$ quindi
$|B_n-A_m|=|\sum_{f(n)>m+1} (a_f(n))|<\sum_{f(n)>m+i} (|a_f(n)|)<\sum_{n>m+1}(|a_n|)=|S_m-s|$

potete spiegarmi cosa significa tutto questo? o se conoscete un'altra dimostrazione, potete fornirmela? Sto impazzendo

[liberatorimatteo]

Sono interessato anche io. Riscrivo dicendo cosa non è chiaro a me.

Siano

$A_N= \sum_{n=1}^N a_n \rightarrow l$, $S_N= \sum_{n=1}^N|a_n| \rightarrow s$ e $B_N= \sum_{n=1}^Na_(f(n))$

Per definizione di limite si ha:

$∀ε>0 ∃M_1 : \forallN>=M_1 \Rightarrow |A_N-l|<ε$

$∀ε>0 ∃M_2 :\forall N>=M_2 \Rightarrow |S_N-s|<ε$

Sia $M>=max{M_1,M_2}$ quindi

$|B_N-l|=|B_N-A_M+A_M-l|<=|B_N-A_M|+|A_M-l|<|B_N-A_M|+ε$

Se dimostro che $|B_N-A_M|<ε$ ho finito. Sia $N_1 :\forall N>=N_1 \Rightarrow {f(1),...,f(n)}\supseteq{1,...,M}$ quindi

$|B_N-A_M|=_(N>=N_1)|\sum_{f(n)>=M+1 \text{ con } 1=M+1 \text{ con } 1
Ora però non capisco perche questi ultime due passaggi siano veri.

$\sum_{f(n)>=M+1 \text{ con } 1M+1}^\infty |a_n|=|S_M-s|<ε$

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[liberatorimatteo]

Nessuno?

[liberatorimatteo]

???

[liberatorimatteo]

Riprovo un'ultima volta...

[marco.ve1]

Credo che $\{ a_{f(n)}: f(n)\ge M+1, 1 \le n \le N \} \sube \{ a_n: M+1 \le n \le N_x, \}$ per un opportuno $N_x$ naturale (sia infatti $m = max{f(n): n\le N}$ allora si può prendere $N_x = m$ o comunque un numero maggiore di m)
Perciò $ \sum_{f(n)>=M+1 \text{ con } 1

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[liberatorimatteo]

Wow grazie mille per la risposta, ora qualcosa mi è più chiaro ma continuo a non capire questo passaggio

"marco.ve":$\sum_{n \ge M+1}^(N_x) |a_n| \le |S_(N_x)-s|$

[marco.ve1]

$ \sum_{n \ge M+1}^(N_x) |a_n| \le \sum_{n \ge M+1}^(+\infty) |a_n| = s- S_M = |s-S_M| $ (scusa avevo sbagliato pedice), la prima disuguaglianza segue subito dal fatto che la serie è a termini positivi)