Teorema del punto fisso di brouwer
Ciao a tutti!
ho una perplessità:
Stavo riguardando degli appunti e mi è caduto l'occhio sull'enunciato dato dal mio prof del teorema di brouwer:
Sia $K\sub RR^n$ convesso e limitato, sia $f:K\to K$ una funzione continua.
Allora $f$ ammette un punto fisso.
La dimostrazione che ha proposto si basa su dimostrare il teorema nel caso $K$ sia un simplesso.
La cosa che non mi convice è che in questa dimostrazione si fa uso della compatezza (per fissare le idee si dimostra nel caso del triangolo chiuso).
Quindi ho cercato su internet e, per esempio, su wiki lo enuncia (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fi ... nt_theorem) assumendo anche la compatezza oltre che la convessità su $K$ ("a general form of brouwer fixed point is for continuous functions from a convex compact subset K of Euclidean space to itself") e in generale enunciati che tolgano l'ipotesi di compatezza non ne ho trovati.
Dunque volevo sapere se l'enunciato che mi è stato detto a lezione è falso anche nel caso finito o, in caso contrario, vorrei sapere dove trovare una sua dimostrazione
.
ho una perplessità:
Stavo riguardando degli appunti e mi è caduto l'occhio sull'enunciato dato dal mio prof del teorema di brouwer:
Sia $K\sub RR^n$ convesso e limitato, sia $f:K\to K$ una funzione continua.
Allora $f$ ammette un punto fisso.
La dimostrazione che ha proposto si basa su dimostrare il teorema nel caso $K$ sia un simplesso.
La cosa che non mi convice è che in questa dimostrazione si fa uso della compatezza (per fissare le idee si dimostra nel caso del triangolo chiuso).
Quindi ho cercato su internet e, per esempio, su wiki lo enuncia (http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fi ... nt_theorem) assumendo anche la compatezza oltre che la convessità su $K$ ("a general form of brouwer fixed point is for continuous functions from a convex compact subset K of Euclidean space to itself") e in generale enunciati che tolgano l'ipotesi di compatezza non ne ho trovati.
Dunque volevo sapere se l'enunciato che mi è stato detto a lezione è falso anche nel caso finito o, in caso contrario, vorrei sapere dove trovare una sua dimostrazione
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Risposte
Mi sa che se togli la compattezza è falso. Prendi $x \in (0, 1)$ e la mappa $f(x)=x^2$.
giusto il controesempio che mi mancava 
Penso propio che mi è scappato un "chiuso" nell'enunciato del teorema... Aggiungendolo ottengo chiuso limitato (=ocmpatto) e convesso e le cose tornano.
Grazie!
Penso propio che mi è scappato un "chiuso" nell'enunciato del teorema... Aggiungendolo ottengo chiuso limitato (=ocmpatto) e convesso e le cose tornano.
Grazie!
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