Teorema del punto fisso
Data la funzione:
$f(x)=cot(x)-x$ $AA(x)in[pi/6,pi/2]$,
provare che esiste uno ed un solo $x_(0)in[pi/6,pi/2]$ tale che $f(x_(0))=0$
$f(x)=cot(x)-x$ $AA(x)in[pi/6,pi/2]$,
provare che esiste uno ed un solo $x_(0)in[pi/6,pi/2]$ tale che $f(x_(0))=0$
Risposte
Prova ad usare il Teorema degli zeri.
Grazie!!
"Mortimer":
Data la funzione:
$f(x)=cot(x)-x$ $AA(x)in[pi/6,pi/2]$,
provare che esiste uno ed un solo $x_(0)in[pi/6,pi/2]$ tale che $f(x_(0))=0$
Potresti anche considerare che $f'(x)=-1/(tan^2(x))-2<0$ quindi la derivata nei punti dove la funzione $tan(x)$ è $!=0$ è sempre negativa, $tan(x)$ è $!=0$ in $[pi/6,pi/2]$ e quindi in tale intervallo $f(x)$ è decrescente per cui avrà al più uno zero, dimostri l'esistenza di quest'ultimo mostrando che $f(pi/6)$ è positiva mentre $f(pi/2)$ è negativa.
Bravissimo Carlo.
Io invece sarei partita prima dall'esistenza e poi avrei verificato l'unicità.
(P.S. Come vorrei averti almeno un giorno nella mia classe........
che meraviglia!!!!!!!!!)
Io invece sarei partita prima dall'esistenza e poi avrei verificato l'unicità.
(P.S. Come vorrei averti almeno un giorno nella mia classe........
che meraviglia!!!!!!!!!)
"laura.todisco":
Bravissimo Carlo.
(P.S. Come vorrei averti almeno un giorno nella mia classe........
Grazie, ma perfavore... non farmi pensare alla scuola
Il calcolo della derivata è superfluo in quanto potresti comunque avere una situazione in cui $x_1
con $f(x_1)<0$ e $f(x_2)>0$ pertanto è solo il Teorema degli zeri come estensione del teorema di Bolzano che generalizza il
caso particolare.
con $f(x_1)<0$ e $f(x_2)>0$ pertanto è solo il Teorema degli zeri come estensione del teorema di Bolzano che generalizza il
caso particolare.
"carlo23":
Grazie, ma perfavore... non farmi pensare alla scuola
Ahahahaha ormai ci siamo quasi..........
Il calcolo della derivata non è del tutto superfluo; il Teorema degli zeri ti dà esistenza, la monotonia ti dà l'unicità.
Non sono del tutto convinto che la stretta monotonia assicuri l'unicità del punto in quanto potremmo avere un funzione in valore assoluto strettamente monotona ma con due punti fissi.
"Mortimer":
Non sono del tutto convinto che la stretta monotonia assicuri l'unicità del punto in quanto potremmo avere un funzione in valore assoluto strettamente monotona ma con due punti fissi.
Infatti la solo monotonia non assicura l'unicità del punto. Se al teorema degli zeri si aggiunge anche la monotonia della funzione, allora si ha anche l'unicità del punto.
stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale
se una funzione è strettamente monotona, allora è iniettiva e quindi di zeri ne ha al massimo uno (che ne abbia uno, ovvero per quanto riguarda l'esistenza, non si può dire, solo sulla base della stretta monotonia). Non ne può avere due...
Naturalmente, se una funzione ha la derivata prima positiva su un intervallo $I$, allora è strettamente crescente su $I$ e quindi si può applicare quanto detto sopra (analogo discorso se la derivata fosse negativa)
se di una funzione sappiamo solo che è debolmente monotona, non si può concludere nulla riguardo all'unicità
attenzione: si parla di zeri come dice il testo del post e varie risposte successive, o si parla di punti fissi (come il titolo del post e come menziona mortimer)?
io mi riferisco agli zeri
se una funzione è strettamente monotona, allora è iniettiva e quindi di zeri ne ha al massimo uno (che ne abbia uno, ovvero per quanto riguarda l'esistenza, non si può dire, solo sulla base della stretta monotonia). Non ne può avere due...
Naturalmente, se una funzione ha la derivata prima positiva su un intervallo $I$, allora è strettamente crescente su $I$ e quindi si può applicare quanto detto sopra (analogo discorso se la derivata fosse negativa)
se di una funzione sappiamo solo che è debolmente monotona, non si può concludere nulla riguardo all'unicità
attenzione: si parla di zeri come dice il testo del post e varie risposte successive, o si parla di punti fissi (come il titolo del post e come menziona mortimer)?
io mi riferisco agli zeri
Forse Mortimer si riferiva al punto fisso della funzione ctgx, ecco perchè cercava gli zeri di f(x)=ctgx-x.
Credo che sarebbe meglio, prima di chiedere un aiuto, specificare l'argomento che si sta studiando, in modo che sia più facile, per chi risponde, inquadrare il problema.
Credo che sarebbe meglio, prima di chiedere un aiuto, specificare l'argomento che si sta studiando, in modo che sia più facile, per chi risponde, inquadrare il problema.
Appunto, e la mia risposta, come da post di Fioravante, era già riferita al problema "trasformato", ovvero problema di zeri e non di punto fisso.
Si, è chiaro.
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