Teorema del Passaggio al limite sotto il segno di integrale
Salve a tutti voi del forum.. 
come una gran maleducata mi sono catapultata di corsa nella sezione apposita per chiedere un vostro aiuto senza fare le dovute presentazioni..
sono una studentessa del corso di laurea in ingegneria informatica e a settembre dovrò sostenere l'esame di analisi II..
vorrei chiedervi se avete la dimostrazione del teorema in oggetto (passaggio al limite sotto il segno di integrale riguardo l'argomento successioni di funzioni).. credo di aver preso male gli appunti e ora non mi trovo in alcuni passaggi](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
.. ho cercato su svariati libri e su internet ma senza risultati..
se potete, postatemi per favore questa benedetta dimostrazione..
vi ringrazio in anticipo..
come una gran maleducata mi sono catapultata di corsa nella sezione apposita per chiedere un vostro aiuto senza fare le dovute presentazioni..
sono una studentessa del corso di laurea in ingegneria informatica e a settembre dovrò sostenere l'esame di analisi II..
vorrei chiedervi se avete la dimostrazione del teorema in oggetto (passaggio al limite sotto il segno di integrale riguardo l'argomento successioni di funzioni).. credo di aver preso male gli appunti e ora non mi trovo in alcuni passaggi
.. ho cercato su svariati libri e su internet ma senza risultati.. se potete, postatemi per favore questa benedetta dimostrazione..
vi ringrazio in anticipo..
Risposte
Provo a spiegartelo io anche se purtroppo ancora non ho tanta dimestichezza con le formule e temo che non le userò bene 
Il teorema afferma che se abbiamo:
fn: $ [a,b] -> RR $ tutte continue, con fn che convergono uniformemente a una funzione f, allora
$ lim_{n to oo} int_{a}^{b} fn(t) dt = int_{a}^{b} f(t) dt = int_{a}^{b} lim_{n to oo} fn(t) dt $
Ci basta quindi dimostrare che:
$ int_{a}^{b} fn(t) dt $ converge a $ int_{a}^{b} f(t) dt $
Allora :
$ | int_{a}^{b} fn(t) dt - int_{a}^{b} f(t) dt | = | int_{a}^{b} [fn(t) - f(t) ] dt | = int_{a}^{b} | fn(t) - f(t) | dt <= int_{a}^{b} max_{[a,b]} | fn(t) - f(t) | dt = max_{[a,b]} | fn(t) - f(t) | int_{a}^{b} dt = max_{[a,b]} | fn(t) - f(t) | (b-a) $
Dall'ultima uguaglianza osserviamo che dato che le fn convergono uniformemente a f, allora la quantità va a zero.
Il teorema afferma che se abbiamo:
fn: $ [a,b] -> RR $ tutte continue, con fn che convergono uniformemente a una funzione f, allora
$ lim_{n to oo} int_{a}^{b} fn(t) dt = int_{a}^{b} f(t) dt = int_{a}^{b} lim_{n to oo} fn(t) dt $
Ci basta quindi dimostrare che:
$ int_{a}^{b} fn(t) dt $ converge a $ int_{a}^{b} f(t) dt $
Allora :
$ | int_{a}^{b} fn(t) dt - int_{a}^{b} f(t) dt | = | int_{a}^{b} [fn(t) - f(t) ] dt | = int_{a}^{b} | fn(t) - f(t) | dt <= int_{a}^{b} max_{[a,b]} | fn(t) - f(t) | dt = max_{[a,b]} | fn(t) - f(t) | int_{a}^{b} dt = max_{[a,b]} | fn(t) - f(t) | (b-a) $
Dall'ultima uguaglianza osserviamo che dato che le fn convergono uniformemente a f, allora la quantità va a zero.
La dimostrazione di Antrope è corretta, ma non completa. Si è dimenticato di dire che anche l'integrale deve essere convergente, non va dimenticato che l'integrale definito non è altro che il limite di una sommatoria, cioè una serie e quindi necessario che convergano uniformemente sia la successione che la serie (vedi a questo proposito il teorema di Fourier, non quello dei segnali: $int$f(x)dx converge se e solo se converge la serie $sum$f(n)).
alex, permettimi di dissentire, ma nelle ipotesi del teorema abbiamo che:
$ fn:[a,b] -> RR $ e sono anche tutte continue, quindi gli integrali su $ [a,b] $ sono convergenti
$ fn:[a,b] -> RR $ e sono anche tutte continue, quindi gli integrali su $ [a,b] $ sono convergenti
Scusa antrope ma sei stato tu a porre sia la condizione che le $f_n(x)$ siano continue, sia che l'integrale sia in un intervallo finito e chiuso [a; b].
Le mie ipotesi valgono in casi più generali ad esempio
$f_n(x)=1/(x^(2n+1))$ con [a; b] = [-1; 1] (Le $f_n(x)$ non sono continue) eppure l'integrale converge lo stesso a zero e guarda
$lim_(n\to infty)int_(-1)^1 1/(x^(2n+1))dx=lim_(n\to infty) [-1/(2nx^(2n))]_-1^1=lim_(n\to infty)0=0$
$int_(-1)^1 lim_(n\to infty)1/(x^(2n+1))dx=int_(-1)^1 0=0$
oppure
$f_n(x)=e^(-(x^2)/n)$ nell'intervallo aperto $(2,+infty)$
sia la successione degli integrali che l'integrale della successione tendono a 0.
Le mie ipotesi valgono in casi più generali ad esempio
$f_n(x)=1/(x^(2n+1))$ con [a; b] = [-1; 1] (Le $f_n(x)$ non sono continue) eppure l'integrale converge lo stesso a zero e guarda
$lim_(n\to infty)int_(-1)^1 1/(x^(2n+1))dx=lim_(n\to infty) [-1/(2nx^(2n))]_-1^1=lim_(n\to infty)0=0$
$int_(-1)^1 lim_(n\to infty)1/(x^(2n+1))dx=int_(-1)^1 0=0$
oppure
$f_n(x)=e^(-(x^2)/n)$ nell'intervallo aperto $(2,+infty)$
sia la successione degli integrali che l'integrale della successione tendono a 0.
Per l'integrale di Riemann un Teorema sufficientemente generale per il passaggio al limite sotto il segno di integrale afferma che se le $f_n$ sono integrabili e definite su $[a,b]$ chiuso e limitato, e se $f_n$ converge uniformemente ad $f$ su $[a,b]$ con $f$ integrabile, allora si ha convergenza sotto il segno di integrale, e la dimostrazione è sostanzialmente la stessa proposta.
Diverso è il caso dell'integrale di Lebesgue, che è sostanzialmente stato fatto apposta per rendere più flessibile il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Diverso è il caso dell'integrale di Lebesgue, che è sostanzialmente stato fatto apposta per rendere più flessibile il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
..Grazie mille per la delucidazione.. ho risolto
grazie ancoraaaa
ho risolto grazie ancoraaaa
Alex te hai perfettamente ragione, soltanto che sia io che Skotos ci riferivamo al teorema che comunque viene fatto al livello di analisi 1 (matematica) o analisi 2 (ingegneria). Io ho dato un mese fà l'esame di analisi 1 a matematica e comunque ci è stato spiegato in questo modo, per questo l'ho riportato cosi
salve a tutti, riprendo questo vecchio argomento sperando di ottenere comunque risposte 
studiando questo stesso teorema ho visto che il mio professore premette alla dimostrazione vera e propria un'osservazione che non riesco a capire, mi aiutate a chiarire i miei dubbi?
Definizione: sia $(f_n)$ una successione di funzioni definite in $[a, b]$ ivi integrabili secondo Riemann, se $(f_n)$ converge uniformemente ad $f$ in $[a, b]$ allora anche $f$ è integrabile secondo Riemann e
$lim_{n} \int_{a}^{b} f_n(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx$
la dimostrazione della formula del passaggio al limite sotto il segno di integrale è chiara, quello che mi lascia perplessa è la dimostrazione del fatto che $f$ è integrabile, ovvero questo:
"Innanzitutto notiamo che $f$ è limitata. Adesso osserviamo che, fissato $\epsilon>0$, dalla seconda proprietà del sup e dalla seconda proprietà dell'inf segue che esistono $y_1, y_2 \epsilon [c,d] sub [a, b]$ tali che
$ Sup_{[c,d]} f(x)- Inf_{[c,d]} f(x)
$Sup_{[c,d]}f(x)-Inf_{[c,d]}f(x)
$Sup_{[c,d]}f(x)-Inf_{[c,d]}f(x)\nu$ $(3)$ "
e mi fermo qui perchè i passaggi successivi sono chiari.
queste sono le cose che non capisco:
1) da cosa si nota che $f$ è limitata? Dal fatto che converge uniformemente?
2) come si arriva alla $(1)$? Perchè è vera questa disuguaglianza?
3) nella $(3)$ abbiamo sostituito sia $(f(y_1)-f_n(y_1))$ che $(f_n(y_2)-f(y_2))$ con $\epsilon/(4(b-a))$, questi due sommati al $\epsilon/(4(b-a))$ già presente dovrebbe dare $(3 \epsilon)/(4(b-a)$ e non $\epsilon/(2(b-a))$, è sbagliata la formula o mi sbaglio io?
Grazie a tutti quello che mi daranno una mano
studiando questo stesso teorema ho visto che il mio professore premette alla dimostrazione vera e propria un'osservazione che non riesco a capire, mi aiutate a chiarire i miei dubbi?
Definizione: sia $(f_n)$ una successione di funzioni definite in $[a, b]$ ivi integrabili secondo Riemann, se $(f_n)$ converge uniformemente ad $f$ in $[a, b]$ allora anche $f$ è integrabile secondo Riemann e
$lim_{n} \int_{a}^{b} f_n(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx$
la dimostrazione della formula del passaggio al limite sotto il segno di integrale è chiara, quello che mi lascia perplessa è la dimostrazione del fatto che $f$ è integrabile, ovvero questo:
"Innanzitutto notiamo che $f$ è limitata. Adesso osserviamo che, fissato $\epsilon>0$, dalla seconda proprietà del sup e dalla seconda proprietà dell'inf segue che esistono $y_1, y_2 \epsilon [c,d] sub [a, b]$ tali che
$ Sup_{[c,d]} f(x)- Inf_{[c,d]} f(x)
$Sup_{[c,d]}f(x)-Inf_{[c,d]}f(x)
$Sup_{[c,d]}f(x)-Inf_{[c,d]}f(x)
e mi fermo qui perchè i passaggi successivi sono chiari.
queste sono le cose che non capisco:
1) da cosa si nota che $f$ è limitata? Dal fatto che converge uniformemente?
2) come si arriva alla $(1)$? Perchè è vera questa disuguaglianza?
3) nella $(3)$ abbiamo sostituito sia $(f(y_1)-f_n(y_1))$ che $(f_n(y_2)-f(y_2))$ con $\epsilon/(4(b-a))$, questi due sommati al $\epsilon/(4(b-a))$ già presente dovrebbe dare $(3 \epsilon)/(4(b-a)$ e non $\epsilon/(2(b-a))$, è sbagliata la formula o mi sbaglio io?
Grazie a tutti quello che mi daranno una mano
1) si. il limite uniforme di una successione di funzioni limitate è una funzione limitata. è un fatto ovvio che dovresti essere in grado di dimostrare da sola.
2) si tratta semplicemente dell'applicazione delle proprietà di inf e sup dove in luogo del consueto $\epsilon$ si è scritto $(\epsilon)/(8(b-a))$.
3) questi " conti all'epsilon " non sono importanti. infatti $\epsilon$ indica un numerino che puo' essere preso piccolo a piacere, per cui avere in una formula $\epsilon$, avere $10\epsilon$ o avere $"un milione" \cdot \epsilon$ è la stessa cosa ai fini della dimostrazione. La cosa importante è che il moltiplicatore di epsilon sia una costante, e che non dipenda dalle altre variabili in gioco.
Nel tuo caso avere $2/(b-a) \epsilon$ o $(800)/(b-a) \epsilon$ è lo stesso. Il prof sta solo cercando di fare della cosmesi, scegliendo accuratamente i moltiplicatori di $\epsilon$ per far venire delle formule le pîù eleganti possibile.
2) si tratta semplicemente dell'applicazione delle proprietà di inf e sup dove in luogo del consueto $\epsilon$ si è scritto $(\epsilon)/(8(b-a))$.
3) questi " conti all'epsilon " non sono importanti. infatti $\epsilon$ indica un numerino che puo' essere preso piccolo a piacere, per cui avere in una formula $\epsilon$, avere $10\epsilon$ o avere $"un milione" \cdot \epsilon$ è la stessa cosa ai fini della dimostrazione. La cosa importante è che il moltiplicatore di epsilon sia una costante, e che non dipenda dalle altre variabili in gioco.
Nel tuo caso avere $2/(b-a) \epsilon$ o $(800)/(b-a) \epsilon$ è lo stesso. Il prof sta solo cercando di fare della cosmesi, scegliendo accuratamente i moltiplicatori di $\epsilon$ per far venire delle formule le pîù eleganti possibile.
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