Teorema del massimo modulo (analisi complessa)

[gionnybravo96]

Salve, avrei bisogno di una dimostrazione semplice e facile da comprendere del teorema del massimo modulo(analisi complessa).
Grazie in anticipo.

[whaks]

Ciao sto studiando anche io l'analisi complessa in questo periodo, e dai miei appunti (che sono un po un mix tra lezioni in classe, libri e dispense recuperate online) ti rigiro questa che io ho trovato piuttosto comprensibile:

Se abbiamo $ Omega sub CC $ aperto connesso, $ f\inH(Omega) $

Se $|f|$ ha un massimo locale in $Omega$ allora $f $ è costante.


Considero $ z_M$ un massimo locale per $|f|$. Allora esiste un aperto connesso $U$ intorno di $z_M$ tale che per ogni $z \in U $ si ha che $ |f(z)|<=|f(z_M)|=M$. Allora $f(U) sub \overline{S(0,M)} $ e quindi non esiste una sfera centrata in $f(z_M) $che stia tutta dentro $f(U)$ . Allora $f(U)$ non è un intorno del punto $f(z_M)$ che però contiene allora non essendo intorno $f(U)$ non è un aperto. Allora $f$ deve essere costante su $U$ e dal fatto che $Omega$ è un connesso lo deve essere anche su $Omega$ stesso.

[gugo82]

"campagnajunior":Salve, avrei bisogno di una dimostrazione semplice e facile da comprendere del teorema del massimo modulo(analisi complessa).

Una domanda del genere è senza senso, perché di dimostrazioni ce ne sono tante e non tutte si collegano agli argomenti affrontati durante il corso che hai seguito.

Quindi, conviene ribaltare la domanda: cosa non hai capito della dimostrazione proposta a lezione o di quella che hai sui tuoi riferimenti bibliografici?