Teorema del grafico chiuso: controesempi
Il teorema del grafico chiuso afferma che se $X, Y$ sono due spazi di Banach e $T:X->Y$ è un operatore chiuso allora $T$ è limitato.
Ma se $X$ o $Y$ non fossero spazi completi? Sapreste darmi due esempi dove prima$X$ e poi $Y$ non sono completi e per cui quindi non valga il teorema?
Credo che vadano trovati due esempi per cui valga:
$(x_n) \in X$ tale che $x_n->x$ e $T(x_n)->y$ allora $y=Tx$ ma questo non implica che $T$ sia continua (cioè limitata).
Ma se $X$ o $Y$ non fossero spazi completi? Sapreste darmi due esempi dove prima$X$ e poi $Y$ non sono completi e per cui quindi non valga il teorema?
Credo che vadano trovati due esempi per cui valga:
$(x_n) \in X$ tale che $x_n->x$ e $T(x_n)->y$ allora $y=Tx$ ma questo non implica che $T$ sia continua (cioè limitata).
Risposte
In un verso puoi fare così:
$X:=C^1([0,1])$ ( funzioni derivabili in $[0,1]$ con derivata continua) munito della norma uniforme
(su $f$ non su $f'$), $Y:=C^0([0,1])$ con la stessa norma. Per ogni $f$ in $X$ definisci $Tf:=f'$.
Puoi provare a verificare che (se non ci riesci ci risentiamo)
(1) $T$ è lineare ma non continuo.
(2) $T$ è chiuso (usa la caratterizzazione $g=f'\Leftrightarrow f(x)=f(0)+\int_0^x g(t)dt$)
(3) $X$ non è completo (come conseguenza di (1) e (2) - ma è istruttivo verificarlo direttamente)
$X:=C^1([0,1])$ ( funzioni derivabili in $[0,1]$ con derivata continua) munito della norma uniforme
(su $f$ non su $f'$), $Y:=C^0([0,1])$ con la stessa norma. Per ogni $f$ in $X$ definisci $Tf:=f'$.
Puoi provare a verificare che (se non ci riesci ci risentiamo)
(1) $T$ è lineare ma non continuo.
(2) $T$ è chiuso (usa la caratterizzazione $g=f'\Leftrightarrow f(x)=f(0)+\int_0^x g(t)dt$)
(3) $X$ non è completo (come conseguenza di (1) e (2) - ma è istruttivo verificarlo direttamente)
"ViciousGoblinEnters":
In un verso puoi fare così:
$X:=C^1([0,1])$ ( funzioni derivabili in $[0,1]$ con derivata continua) munito della norma uniforme
(su $f$ non su $f'$), $Y:=C^0([0,1])$ con la stessa norma. Per ogni $f$ in $X$ definisci $Tf:=f'$.
Puoi provare a verificare che (se non ci riesci ci risentiamo)
(1) $T$ è lineare ma non continuo.
$T(f+g)=(f+g)'=f'+g'=Tf+Tg$
Per la non continuità?!
"ViciousGoblinEnters":
(2) $T$ è chiuso (usa la caratterizzazione $g=f'\Leftrightarrow f(x)=f(0)+\int_0^x g(t)dt$)
Sia $(f_n) \in C^1([0,1])$ tale che $f_n->f, Tf_n->g \in C([0,1])$ vogliamo dimostrare che $Tf=g$:
$f_n->f, Tf_n = (f'_n)=(g_n)->g$. $g=f'\Leftrightarrow f(x)=f(0)+\int_0^x g(t)dt$ perciò $g_n=f'_n\Leftrightarrow f_n(x)=f_n(0)+\int_0^x g_n(t)dt$.
$lim f_n=lim f(0)+\int_0^x g_n(t)dt=lim f_n(0)+lim\int_0^x g_n(t)dt= f(0)+\int_0^x lim g_n(t)dt=f(0)+\int_0^x g(t)dt = f(x) \Rightarrow f'=g <=>Tf=g$
"ViciousGoblinEnters":
(3) $X$ non è completo (come conseguenza di (1) e (2) - ma è istruttivo verificarlo direttamente)
Dimostrato in classe con il seguente controesempio: $f_n = \sqrt(t^2+1/n)$.
Grazie davvero tanto per la tua disponibilità, spero che i miei esercizi siano interessanti più che meccanici per te! :)
Non ti preoccupare, sono contento se ti sono utile. E comunque non è che mi venga tutto facile - non nego di avere
una certa esperienza, ma soprattutto le questioni piu' teoriche, avendole io studiate un po' di tempo fa', costituiscono
una sfida stimolante.
Però sull'operatore derivata sono preparato ...
(2) Prendi le funzioni $f_n(x):=\frac{1}{n}\sin(nx)$ (oscillazioni sempre più rapide di ampiezza sempre più bassa)
Allora $||f_n|| = 1/n\to0$ (la norma è la norma uniforme), mentre $(Tf_n)(x)f_n'(x)=\cos(nx)$ e quindi $||\f'_n||=1$ che
non tende a zero. Nota che dunque $Tf_n$ non ha limite - secondo te si potrebbe trovare un controesempio in cui
(per esempio ) $f_n\to0$ e $Tf_n$ tende a una funzione diversa da zero? .
una certa esperienza, ma soprattutto le questioni piu' teoriche, avendole io studiate un po' di tempo fa', costituiscono
una sfida stimolante.
Però sull'operatore derivata sono preparato ...
(2) Prendi le funzioni $f_n(x):=\frac{1}{n}\sin(nx)$ (oscillazioni sempre più rapide di ampiezza sempre più bassa)
Allora $||f_n|| = 1/n\to0$ (la norma è la norma uniforme), mentre $(Tf_n)(x)f_n'(x)=\cos(nx)$ e quindi $||\f'_n||=1$ che
non tende a zero. Nota che dunque $Tf_n$ non ha limite - secondo te si potrebbe trovare un controesempio in cui
(per esempio ) $f_n\to0$ e $Tf_n$ tende a una funzione diversa da zero? .
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