Teorema del gradiente nullo

[KatieP]

Ciao a tutti. Sto studiando il teorema in Analisi 2 secondo cui se una funzione in un aperto connesso ha gradiente nullo, allora è costante. La domanda è: perché questo teorema non è stato dimostrato, come per Analisi 1, come corollario di Lagrange? C'è un analogo del teorema di Lagrange in due variabili ? Sarebbe applicabile in questo caso?

[bosmer-votailprof]

"nereide": C'è un analogo del teorema di Lagrange in due variabili ? Sarebbe applicabile in questo caso?

Il problema è proprio questo! Non esiste un vero analogo del teorema di Lagrange in due variabili ... Esiste un surrogato, che impone però che due punti all'interno del dominio della funzione siano connessi da un segmento, allora esiste un punto $k$ appartenente al segmento per cui vale che $f(x_1)-f(x_0)=df(k)\cdot (x_1-x_0)$ che diciamo è l'equivalente della formula in una variabile...
Il problema è che questo vale solo sul segmento $[x_0,x_1]$ che connette i due punti ed ovviamente a patto che tutti i punti del segmento siano contenuti nel dominio di $f$ .

Visto che in più variabili questo è il massimo che il compianto Lagrange ci può offrire allora il massimo che noi possiamo fare è applicare più e più volte come dei muli questo teorema, per fare ciò abbiamo bisogno che tutti i punti del dominio di una funzione possano essere connessi l'uno con l'altro da una poligonale ( cioè da una catena di segmenti ) se anche solo un punto ci fa lo scherzo di non connettersi agli altri con una poligonale non possiamo applicare il precedente teorema e ci possiamo anche ammazzare...
Gli insiemi che hanno questa caratteristica sono gli insiemi aperti che siano anche connessi.

[KatieP]

Grazie mille